Zadanie z prawdopodobieństwa wymaga spójnego modelu wyników i precyzyjnego warunku sukcesu. Sprawdzamy równe szanse, zwracanie elementów i znaczenie kolejności, zanim zaczniemy liczyć.
Pojęcia, od których zaczynamy
„Co najmniej jeden wadliwy” w dwóch losowaniach obejmuje jeden lub dwa wadliwe elementy. Przeciwieństwem są dwa dobre. Ten opis często skraca rachunki, bo zamiast kilku korzystnych przypadków liczymy jeden niekorzystny i odejmujemy jego szansę od jedności.
Przy równomiernym losowaniu każdy dostępny element ma taką samą szansę wyboru. Bez zwracania po pierwszym losowaniu zmienia się zarówno liczba wszystkich elementów, jak i, zależnie od wyniku, liczba dobrych lub wadliwych. Kolory czy typy nie muszą mieć równych szans tylko dlatego, że są dwa.
Zasada i zapis
A oznacza co najmniej jeden wadliwy, a zdarzenie przeciwne dwa dobre. Na ścieżce dwóch kolejnych losowań mnożymy odpowiednie szanse warunkowe.
Jak czytać rysunek?
Pierwszy krok pokazuje siedemnaście dobrych wśród dwudziestu elementów. Po zabraniu dobrego pozostaje szesnaście dobrych wśród dziewiętnastu. Iloczyn dotyczy wyłącznie ścieżki „dobry i dobry”; pozostałe wyniki tworzą zdarzenie z pytania.
Przykład krok po kroku
W pudełku jest dwadzieścia elementów, w tym trzy wadliwe. Losujemy równomiernie dwa bez zwracania. Oblicz szansę co najmniej jednego wadliwego.
- Policz dobre elementy przed pierwszym losowaniem.\(20-3=17\)
- Prawdopodobieństwo dwóch dobrych oblicz z aktualizacją puli po pierwszym dobrym.\(P(A^c)=\frac{17}{20}\cdot\frac{16}{19}=\frac{68}{95}\)
- Odejmij od jedności, aby wrócić do zdarzenia z polecenia.\(P(A)=1-\frac{68}{95}=\frac{27}{95}\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Kontrola inną metodą: wszystkich nieuporządkowanych par jest \(\frac{20\cdot19}{2}=190\). Dokładnie jeden wadliwy daje \(3\cdot17=51\) par, a dwa wadliwe \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) pary. Razem \(\frac{54}{190}=\frac{27}{95}\). Nie łącz licznika z parami uporządkowanymi i mianownika z nieuporządkowanymi.
Gdyby po każdym losowaniu odkładać element i ponownie mieszać, szansa obu dobrych wynosiłaby \(\left(\frac{17}{20}\right)^2\), a odpowiedź \(\frac{111}{400}\). To inny model. Wynik musi mieścić się od zera do jedności, lecz sama ta kontrola nie wykrywa wszystkich błędów interpretacji.