Zadania z prawdopodobieństwa

Wyobraź sobie pudełko z kolorowymi kulami, talię kart albo kostkę do gry. Zanim policzysz szansę, musisz wiedzieć, jakie wyniki mogą się pojawić i które z nich spełniają warunek zadania. Prawdopodobieństwo jest więc nie zgadywaniem, lecz porządnym liczeniem możliwości.

Konkret: eksperyment i możliwe wyniki

• Doświadczenie losowe to czynność, której wyniku nie znamy z góry.
• Przestrzeń zdarzeń elementarnych zawiera wszystkie możliwe wyniki.
• Zdarzenie to wybrany zestaw wyników spełniających określony warunek.
• W modelu klasycznym wszystkie wyniki elementarne muszą być jednakowo prawdopodobne.
• Prawdopodobieństwo zawsze mieści się od 0 do 1.

Reprezentacja: tabela lub drzewko możliwości

• Dla jednego losowania wypisz możliwe wyniki.
• Dla dwóch etapów użyj tabeli albo drzewka.
• Każda gałąź drzewka opisuje jeden możliwy przebieg doświadczenia.
• Wyniki sprzyjające zaznacz osobno.
• Na końcu sprawdź, czy nie pominąłeś żadnego wyniku i czy żadnego nie policzyłeś dwa razy.

Abstrakcja: najważniejsze reguły

• W modelu klasycznym P(A)=liczba wyników sprzyjających/liczba wszystkich wyników.
• Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0.
• Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1.
• Zdarzenie przeciwne ma prawdopodobieństwo P(A^c)=1−P(A).
• Dla niezależnych etapów prawdopodobieństwa kolejnych zdarzeń mnożymy.
• Dla rozłącznych sposobów uzyskania wyniku prawdopodobieństwa dodajemy.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim S-Z-A-N-S-A: Spisz wyniki, Zaznacz sprzyjające, Analizuj jednakowe szanse, Nie pomijaj możliwości, Skróć ułamek, Analizuj sens. W pałacu pamięci wchodzisz do kasyna, gdzie gigantyczna kostka wyrzuca wszystkie możliwe wyniki na dywan. Złoty magnes przyciąga tylko wyniki sprzyjające, a strażnik przy wyjściu sprawdza, czy twój wynik mieści się od 0 do 1.

Przykład krok po kroku: rzut kostką

Rzucamy uczciwą sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej od 4.

• Wszystkie wyniki: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Wyniki sprzyjające: 5 i 6.
• Liczba wyników sprzyjających wynosi 2.
• Liczba wszystkich wyników wynosi 6.
• P=2/6=1/3.

Przykład krok po kroku: losowanie kuli

W pudełku są 4 kule czerwone, 3 niebieskie i 1 zielona. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej.

• Wszystkich kul jest 4+3+1=8.
• Kul niebieskich są 3.
• P=3/8.
• Nie można skrócić ułamka.
• Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi 3/8.

Przykład krok po kroku: zdarzenie przeciwne

Prawdopodobieństwo spóźnienia autobusu wynosi 0,2. Oblicz prawdopodobieństwo, że autobus się nie spóźni.

• Zdarzenie przeciwne do spóźnienia to brak spóźnienia.
• P=1−0,2.
• P=0,8.
• Wynik odpowiada 80 procentom.
• Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi 0,8.

Przykład krok po kroku: dwa rzuty monetą

Rzucamy dwa razy uczciwą monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła.

• Możliwe wyniki: OO, OR, RO, RR.
• Wyniki sprzyjające: OR i RO.
• Są 2 wyniki sprzyjające spośród 4.
• P=2/4=1/2.
• Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi 1/2.

Przykład krok po kroku: losowanie bez zwracania

W woreczku są 3 kule białe i 2 czarne. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych kul.

• Pierwsza biała: 3/5.
• Po jej wylosowaniu zostają 2 białe kule spośród 4 wszystkich.
• Druga biała: 2/4.
• P=(3/5)·(2/4)=6/20=3/10.
• Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi 3/10.

Najczęstsze błędy

• Liczenie tylko wyników sprzyjających bez policzenia wszystkich wyników.
• Zakładanie jednakowych szans, gdy wyniki nie są jednakowo prawdopodobne.
• Pomijanie kolejności w doświadczeniach wieloetapowych.
• Dodawanie zamiast mnożenia prawdopodobieństw kolejnych niezależnych etapów.
• Zapominanie, że losowanie bez zwracania zmienia liczbę dostępnych wyników.
• Podawanie wyniku mniejszego od 0 lub większego od 1.

Kontrola rozwiązania

• Czy wypisałem wszystkie możliwe wyniki?
• Czy wyniki są jednakowo prawdopodobne?
• Czy poprawnie wskazałem wyniki sprzyjające?
• Czy kolejność losowań ma znaczenie?
• Czy wynik mieści się od 0 do 1 i został skrócony?

Najczęstsze pytania