Zadania związane z pracą

Wyobraź sobie dwa krany napełniające zbiornik albo dwie drukarki realizujące duże zamówienie. Każde urządzenie wykonuje w godzinę określoną część całej pracy, a po połączeniu ich wydajności zadanie kończy się szybciej.

Konkret: cała praca jako jeden pełny tort

• Całą pracę przyjmujemy jako 1, czyli 100%.
• Jeśli ktoś wykonuje pracę w 5 godzin, to w godzinę wykonuje 1/5 pracy.
• Jeśli dwie osoby pracują razem, dodajemy części pracy wykonywane w tej samej jednostce czasu.
• Jeśli ktoś przestaje pracować, od tego momentu uwzględniamy tylko pozostałe wydajności.

Reprezentacja: tabela czasu i wydajności

• Czas wykonania całej pracy: T.
• Wydajność w jednej godzinie: 1/T.
• Praca wykonana w czasie t: t/T.
• Wspólna wydajność: suma wydajności wszystkich pracujących osób lub maszyn.

Abstrakcja: podstawowe zależności

• Jeśli A wykonuje pracę w a godzin, jego wydajność wynosi 1/a.
• Jeśli B wykonuje pracę w b godzin, jego wydajność wynosi 1/b.
• Razem wykonują w godzinę 1/a+1/b pracy.
• Ich wspólny czas wynosi 1:(1/a+1/b).
• W zadaniach etapowych suma wykonanych części pracy musi dawać 1.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-R-A-C-A: Przyjmij całość jako 1, Rozpisz wydajności, Agreguj pracę wspólną, Czas uwzględnij, Analizuj wynik. W pałacu pamięci cała praca jest ogromnym tortem. Każdy pracownik odcina w godzinę własny kawałek, a gdy pracują razem, kawałki wpadają do wspólnego pudełka. Gdy pudełko zapełni się do 1, zadanie jest skończone.

Przykład krok po kroku: dwie osoby pracują razem

Anna wykonuje pracę w 6 godzin, a Bartek w 3 godziny. Ile czasu potrzebują razem?

• Wydajność Anny: 1/6 pracy na godzinę.
• Wydajność Bartka: 1/3 pracy na godzinę.
• Wspólna wydajność: 1/6+1/3=1/6+2/6=3/6=1/2.
• W godzinę wykonują połowę pracy.
• Czas wykonania całości: 1:(1/2)=2 godziny.

Przykład krok po kroku: maszyny o różnej wydajności

Pierwsza maszyna wykonuje partię w 8 godzin, druga w 12 godzin. Ile czasu zajmie wspólna praca?

• Wydajności: 1/8 i 1/12.
• Wspólny mianownik: 24.
• 1/8+1/12=3/24+2/24=5/24.
• Czas: 1:(5/24)=24/5=4,8 godziny.
• 0,8 godziny=48 minut.
• Odpowiedź: 4 godziny 48 minut.

Przykład krok po kroku: praca etapami

Pracownik A wykonuje zadanie w 10 godzin, a B w 15 godzin. Przez 3 godziny pracują razem, potem A odchodzi. Ile jeszcze pracuje B?

• Wspólna wydajność: 1/10+1/15=3/30+2/30=5/30=1/6.
• W 3 godziny wykonują 3·1/6=1/2 pracy.
• Zostaje 1−1/2=1/2 pracy.
• B wykonuje 1/15 pracy na godzinę.
• Czas na pozostałą połowę: (1/2):(1/15)=15/2=7,5 godziny.
• Odpowiedź: B pracuje jeszcze 7 godzin 30 minut.

Przykład krok po kroku: wyznaczanie czasu jednego pracownika

Dwie pompy razem opróżniają zbiornik w 4 godziny. Pierwsza sama potrzebuje 6 godzin. Ile czasu potrzebuje druga?

• Wspólna wydajność: 1/4.
• Wydajność pierwszej pompy: 1/6.
• Wydajność drugiej: 1/4−1/6=3/12−2/12=1/12.
• Skoro wykonuje 1/12 pracy na godzinę, całość wykona w 12 godzin.

Przykład krok po kroku: sprawdzenie nierealnego wyniku

Jedna osoba wykonuje pracę w 5 godzin, a druga w 7 godzin. Czy razem mogą potrzebować 6 godzin?

• Praca wspólna musi trwać krócej niż czas szybszej osoby.
• Szybsza osoba potrzebuje 5 godzin.
• Wynik 6 godzin jest więc niemożliwy.
• Dokładnie: 1/5+1/7=12/35, więc czas=35/12, czyli około 2,92 godziny.

Najczęstsze błędy

• Dodawanie czasów zamiast wydajności.
• Obliczanie średniej arytmetycznej czasów.
• Zapominanie, że cała praca ma wartość 1.
• Nieuwzględnianie zmiany liczby pracowników w zadaniu etapowym.
• Mylenie czasu z wydajnością: im krótszy czas, tym większa wydajność.
• Brak kontroli, czy wspólny czas jest krótszy od czasu najszybszego wykonawcy.

Kontrola rozwiązania

• Czy całą pracę przyjąłem jako 1?
• Czy każdemu wykonawcy przypisałem wydajność 1/T?
• Czy dodałem wydajności tylko w okresie wspólnej pracy?
• Czy suma wykonanych części wynosi 1?
• Czy wspólny czas jest logicznie krótszy od czasu najszybszej osoby?

Najczęstsze pytania