Dodawanie i odejmowanie wielomianów polega na łączeniu wyrazów z taką samą potęgą zmiennej. Przy odejmowaniu najpierw zmieniamy znak każdego wyrazu odejmowanego wielomianu, a dopiero potem wykonujemy rachunki.
Jak odczytać wielomian i rozpoznać wyrazy podobne?
Wielomian to suma wyrazów takich jak \(3x^2\), \(-2x\) i \(5\). Litera \(x\) oznacza liczbę, którą można podstawić. Współczynnik to liczba mnożąca potęgę: w wyrazie \(-2x\) współczynnikiem jest \(-2\), a nie samo \(2\). Składnik bez litery nazywamy wyrazem wolnym.
Wyrazy podobne mają identyczną część literową. Dlatego \(3x^2\) i \(-x^2\) można połączyć, ale \(3x^2\) i \(-x\) już nie. Zapis \(x^2\) oznacza \(x\cdot x\), natomiast \(2x\) oznacza \(2\cdot x\). Są to różne działania. Przy samym \(x^2\) domyślamy się współczynnika \(1\), a przy \(-x^2\) współczynnika \(-1\).
Działa tu ta sama zasada co przy liczeniu jednakowych przedmiotów: trzy sztuki pewnego rodzaju plus dwie sztuki tego samego rodzaju dają pięć sztuk. W algebrze rodzaj wyrazu wyznacza część literowa: \(3x^2+2x^2=5x^2\). Potęga pozostaje taka sama, bo dodajemy, a nie mnożymy.
Dodawanie: ustaw obok siebie te same potęgi
Nazwy \(P(x)\) i \(Q(x)\) są etykietami dwóch wielomianów. Nie oznaczają mnożenia \(P\) przez \(x\). Weźmy \(P(x)=2x^2-3x+4\) oraz \(Q(x)=x^2+5x-1\). Zapis \(P(x)+Q(x)\) oznacza dodanie całych tych wyrażeń. Plus przed nawiasem pozwala opuścić nawias bez zmiany znaków.
W każdej grupie dodajemy tylko współczynniki. Wyrazy wolne łączymy osobno.
Jeśli w wielomianie nie występuje pewna potęga, jej współczynnik wynosi zero. Na przykład \(x^3+2\) można zapisać jako \(x^3+0x^2+0x+2\). Te zera są pomocnicze: zapobiegają ustawieniu wyrazu wolnego pod wyrazem z literą. W gotowej odpowiedzi pomijamy składniki z zerowym współczynnikiem.
Odejmowanie: dlaczego zmieniają się wszystkie znaki?
Odjąć liczbę to dodać liczbę przeciwną. Dla przykładu \(7-(-2)=7+2=9\). Tak samo odjęcie całego nawiasu oznacza pomnożenie każdego jego składnika przez \(-1\). Stąd \(-(x^2+5x-1)=-x^2-5x+1\). Ostatni plus powstaje z iloczynu dwóch liczb ujemnych.
Obliczmy różnicę tych samych wielomianów. Najpierw przepisujemy pierwszy w całości, a drugi umieszczamy w nawiasie. Ten zapis pokazuje, jaki dokładnie fragment odejmujemy.
- Zapisz różnicę z nawiasem obejmującym cały drugi wielomian.\(P(x)-Q(x)=(2x^2-3x+4)-(x^2+5x-1)\)
- Usuń drugi nawias, zmieniając każdy znak. Pierwszy wielomian pozostaje bez zmian.\(2x^2-3x+4-x^2-5x+1\)
- Zgrupuj wyrazy podobne. Od liczby ujemnej odejmujemy kolejną dodatnią liczbę.\((2-1)x^2+(-3-5)x+(4+1)\)
- Oblicz współczynniki i zapisz wynik.\(P(x)-Q(x)=x^2-8x+5\)
Brakujące potęgi i stopień wyniku
Rozważ sumę \((x^3+2x)+(-x^3+x^2)\). Po złączeniu mamy \(x^3-x^3+x^2+2x=x^2+2x\). Wyrazy z trzecią potęgą zniknęły. Stopień wielomianu to najwyższy wykładnik przy niezerowym współczynniku, więc wynik ma stopień \(2\), chociaż oba składniki sumy miały stopień \(3\).
Przy odejmowaniu wielomianu od niego samego wszystkie wyrazy znikają: \((x^2+1)-(x^2+1)=0\). Otrzymujemy wielomian zerowy, któremu w szkolnej konwencji nie przypisujemy stopnia. Nie myl go z niezerowym wielomianem stałym, na przykład \(5\), mającym stopień \(0\).
Jak skontrolować otrzymaną odpowiedź?
Najpierw porównaj współczynniki osobno przy każdej potędze. W obliczonej różnicy wyraz wolny musi wynosić \(4-(-1)=5\). Jeżeli wyszło \(3\), nie zmieniono znaku ostatniego składnika.
Dodatkowo podstaw prostą liczbę, na przykład \(x=1\). Wtedy \(P(1)=2-3+4=3\), \(Q(1)=1+5-1=5\), więc różnica wynosi \(3-5=-2\). Otrzymany wzór daje \(1-8+5=-2\). Zgodność pomaga wychwycić błąd rachunkowy, ale sprawdzenie jednej liczby nie dowodzi jeszcze poprawności wzoru dla wszystkich liczb.
Typowe błędy i sposób ich unikania
Nie podwyższaj wykładnika przy dodawaniu: \(x^2+x^2=2x^2\), natomiast \(x^2\cdot x^2=x^4\). Przed oddaniem rozwiązania sprawdź, czy usunięto nawiasy poprawnie, czy połączono tylko podobne wyrazy oraz czy zapisano wszystkie pozostałe składniki.