Mnożenie wielomianów wymaga pomnożenia każdego składnika pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego. Dopiero po zapisaniu wszystkich iloczynów łączymy wyrazy podobne.
Co mnożymy: współczynniki, potęgi i znaki
Składnikiem wielomianu jest cały wyraz wraz ze znakiem. W wyrażeniu \(2x^2-3x+1\) są trzy składniki: \(2x^2\), \(-3x\) i \(1\). Dwa nawiasy obok siebie, na przykład \((x+1)(x+2)\), oznaczają mnożenie, nawet jeśli nie zapisano kropki.
Najpierw przypomnijmy mnożenie pojedynczych wyrazów. Liczby mnożymy zwyczajnie, a wykładniki potęg o tej samej podstawie dodajemy. Zatem \(3x^2\cdot2x=6x^3\), bo \(3\cdot2=6\) oraz \(x^2\cdot x=x^3\). Minus razy plus daje minus, a minus razy minus daje plus. Dlatego \((-2x)\cdot(-3x^2)=6x^3\).
Przy dodawaniu obowiązuje inna reguła: \(x^2+x^2=2x^2\). Nie przenoś jej na mnożenie, gdzie \(x^2\cdot x^2=x^4\). Rozpoznanie znaku działania chroni przed jednym z najczęstszych błędów.
Dlaczego każdy składnik mnożymy przez każdy?
Podstawą jest rozdzielność mnożenia względem dodawania: \(a(b+c)=ab+ac\). Przykładowo \(3(4+2)=3\cdot4+3\cdot2=18\). Gdy w pierwszym nawiasie też mamy sumę, tę samą regułę stosujemy dwa razy: raz do pierwszego składnika i raz do drugiego.
Powstają wszystkie pary: pierwszy składnik z oboma składnikami drugiego nawiasu, a potem drugi z oboma. Litery mogą też oznaczać wyrazy z minusem.
W iloczynie \((x+2)(x+3)\) otrzymujemy \(x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6\). Dwa środkowe wyrazy są podobne, dlatego można je dodać. Nie pomijamy ich tylko dlatego, że na początku widzimy dwa nawiasy i chcielibyśmy otrzymać dwa składniki.
Tabela pomaga nie zgubić żadnego iloczynu
Obliczmy \((x^2+2x-1)(x+3)\). Pierwszy wielomian ma trzy składniki, drugi dwa, więc przed redukcją powstanie \(3\cdot2=6\) iloczynów. W tabeli wpisz składniki jednego nawiasu w wierszach, a drugiego w kolumnach. Każde wewnętrzne pole to iloczyn podpisów jego wiersza i kolumny.
| Składnik | \(\cdot x\) | \(\cdot3\) |
|---|---|---|
| \(x^2\) | \(x^3\) | \(3x^2\) |
| \(2x\) | \(2x^2\) | \(6x\) |
| \(-1\) | \(-x\) | \(-3\) |
Teraz dodaj wszystkie sześć pól: \(x^3+3x^2+2x^2+6x-x-3\). Wyrazy kwadratowe dają \(5x^2\), a liniowe \(5x\). Ostatecznie otrzymujemy \(x^3+5x^2+5x-3\). Tabela jest narzędziem porządkowania rachunku, a nie dodatkową regułą matematyczną.
Mnożenie bez tabeli, również z ujemnym składnikiem
Rozwiążmy \((2x-1)(x^2+3)\). Cały drugi nawias pomnożymy najpierw przez \(2x\), a następnie przez \(-1\). Dzięki temu od początku uwzględniamy znak drugiego składnika.
- Zastosuj rozdzielność. Zapisz osobno oba mnożenia.\((2x-1)(x^2+3)=2x(x^2+3)-1(x^2+3)\)
- Pomnóż oba składniki drugiego nawiasu przez \(2x\).\(2x\cdot x^2+2x\cdot3=2x^3+6x\)
- Pomnóż oba składniki przez \(-1\).\((-1)\cdot x^2+(-1)\cdot3=-x^2-3\)
- Dodaj wyniki i ustaw potęgi malejąco. Tu nie ma już wyrazów podobnych do zredukowania.\(2x^3-x^2+6x-3\)
W przykładzie \((x+2)(x^2-2x+4)\) dostajemy \(x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8=x^3+8\). Zniknięcie środkowych składników jest skutkiem przeciwnych współczynników, a nie pozwoleniem na pomijanie mnożenia.
Stopień iloczynu i szybka kontrola
Stopień niezerowego wielomianu to najwyższa występująca potęga z niezerowym współczynnikiem. Wyraz przy tej potędze nazywamy wiodącym. W iloczynie niezerowych wielomianów stopnie się dodają, ponieważ najwyższy wyraz powstaje z pomnożenia obu wyrazów wiodących.
W \((3x^2-x)(-2x^3+1)\) najwyższy wyraz to \(3x^2\cdot(-2x^3)=-6x^5\). Wynik musi więc mieć stopień \(5\) i współczynnik wiodący \(-6\). Nie trzeba rozwijać całego iloczynu, jeśli pytanie dotyczy tylko tego wyrazu. Gdy któryś czynnik jest wielomianem zerowym, iloczyn też jest zerowy i reguły dodawania stopni w tej postaci nie stosujemy.
Wyraz wolny iloczynu powstaje z pomnożenia wyrazów wolnych czynników. W przykładzie \((2x-1)(x^2+3)\) powinien wynosić \((-1)\cdot3=-3\). Możesz też porównać wartości przed i po przekształceniu dla \(x=1\): oba zapisy dają \(4\). To kontrola pomocnicza, nie dowód tożsamości.
Typowy błąd: mnożenie tylko skrajnych wyrazów
Przy dłuższym rachunku kończ mnożenie przez jeden składnik, zanim przejdziesz do następnego. Sprawdź liczbę zapisanych iloczynów, potem ich znaki, a dopiero na końcu redukuj podobne wyrazy.