Mnożenie wielomianów

Wyobraź sobie dwie drużyny stojące naprzeciw siebie. Każdy zawodnik z pierwszej drużyny musi przybić piątkę każdemu zawodnikowi z drugiej. W mnożeniu wielomianów działa dokładnie ta sama zasada: każdy wyraz jednego wielomianu mnożymy przez każdy wyraz drugiego.

Mnożenie jednomianu przez wielomian

Jednomian mnożymy przez każdy składnik nawiasu.

• 3x(2x² - x + 4) = 6x³ - 3x² + 12x.
• -2a(a² + 3a - 5) = -2a³ - 6a² + 10a.

Mnożenie dwóch dwumianów

Każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez oba wyrazy drugiego nawiasu.

• (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
• (2x - 3)(x + 4) = 2x² + 8x - 3x - 12 = 2x² + 5x - 12.

Mnożenie wielomianów z większą liczbą wyrazów

Postępujemy tak samo, ale zapisujemy więcej iloczynów cząstkowych.

• (x² + x + 1)(x - 2) = x³ - 2x² + x² - 2x + x - 2.
• Po redukcji: x³ - x² - x - 2.

Potęgi podczas mnożenia

Przy mnożeniu tych samych zmiennych dodajemy wykładniki.

• x² · x³ = x⁵.
• 2a² · 3a = 6a³.

Znaki podczas mnożenia

• Plus razy plus daje plus.
• Minus razy minus daje plus.
• Plus razy minus oraz minus razy plus dają minus.

Redukcja wyrazów podobnych

Po wykonaniu wszystkich mnożeń grupujemy wyrazy o tych samych potęgach.

• 3x² + 2x² = 5x².
• -4x + 7x = 3x.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-A-Ż-D-Y: Każdy wyraz, Atakuj każdy, Żadnej pary nie pomijaj, Dodaj potęgi, Yuporządkuj wynik. Wyobraź sobie salę balową: każdy gigantyczny x z pierwszego nawiasu wiruje kolejno z każdym składnikiem drugiego, a strażnik przy wyjściu liczy pary i nie wypuszcza nikogo, dopóki wszystkie spotkania nie zostaną zapisane.

Przykład krok po kroku

Oblicz (2x - 3)(x² + 4x - 5).

• Krok 1: Pomnóż 2x przez każdy składnik: 2x³ + 8x² - 10x.
• Krok 2: Pomnóż -3 przez każdy składnik: -3x² - 12x + 15.
• Krok 3: Zapisz wszystkie wyrazy razem: 2x³ + 8x² - 10x - 3x² - 12x + 15.
• Krok 4: Zredukuj wyrazy podobne: 8x² - 3x² = 5x² oraz -10x - 12x = -22x.
• Wynik: 2x³ + 5x² - 22x + 15.

Sprawdzenie stopnia

Stopień iloczynu niezerowych wielomianów jest sumą ich stopni. W przykładzie stopnie wynoszą 1 i 2, więc wynik powinien mieć stopień 3. Otrzymaliśmy wyraz 2x³, więc kontrola się zgadza.

Najczęstsze błędy

• Pomijanie jednej z par wyrazów.
• Dodawanie zamiast mnożenia wykładników potęg w niewłaściwy sposób.
• Gubienie znaku minus.
• Łączenie wyrazów o różnych potęgach.
• Brak redukcji wyrazów podobnych po mnożeniu.

Najczęstsze pytania