Dzielenie wielomianu przez dwumian

Wyobraź sobie wysoki stos pudeł opisanych potęgami x: na samej górze stoi x³, niżej x², potem x i liczba. Podczas dzielenia wielomianu zdejmujesz zawsze najwyższe pudełko, dopasowując do niego odpowiedni składnik ilorazu.

Na czym polega dzielenie wielomianu

Dzieląc wielomian W(x) przez dwumian D(x), szukamy wielomianu Q(x) i reszty R(x), dla których:

W(x) = D(x) · Q(x) + R(x).

Stopień reszty musi być mniejszy od stopnia dzielnika. Gdy dzielnikiem jest dwumian liniowy, reszta jest liczbą.

Przygotowanie zapisu

• Uporządkuj wielomian malejąco według potęg.
• Uzupełnij brakujące potęgi współczynnikiem 0.
• Zapisz dzielnik po lewej stronie schematu dzielenia.

Na przykład x³ - 5x + 6 zapisujemy jako x³ + 0x² - 5x + 6.

Algorytm dzielenia pisemnego

• Podziel najwyższy wyraz dzielnej przez najwyższy wyraz dzielnika.
• Zapisz otrzymany wyraz w ilorazie.
• Pomnóż cały dzielnik przez ten wyraz.
• Odejmij otrzymany wielomian.
• Powtarzaj, aż stopień reszty będzie mniejszy od stopnia dzielnika.

Krótki przykład

Podziel x² + 5x + 6 przez x + 2.

• x² : x = x, więc pierwszy wyraz ilorazu to x.
• x(x + 2) = x² + 2x.
• Odejmujemy: x² + 5x + 6 - (x² + 2x) = 3x + 6.
• 3x : x = 3.
• 3(x + 2) = 3x + 6.
• Reszta wynosi 0, więc iloraz to x + 3.

Twierdzenie o reszcie

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez x - a jest równa W(a).

• Jeśli W(a) = 0, to wielomian jest podzielny przez x - a.
• Jeśli W(a) ≠ 0, otrzymana liczba jest resztą.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-P-M-O: Dziel najwyższe wyrazy, Pomóż dzielnik, Minusuj, Opuść kolejne składniki. Wyobraź sobie windę jadącą w dół po piętrach x³, x², x i 1. Na każdym piętrze gigantyczny minus odcina cały pomnożony dzielnik, a winda może zjechać niżej dopiero wtedy, gdy najwyższa potęga zniknie.

Przykład krok po kroku

Podziel 2x³ + 3x² - 8x - 12 przez x + 2.

• Krok 1: 2x³ : x = 2x². Zapisz 2x² w ilorazie.
• Krok 2: 2x²(x + 2) = 2x³ + 4x².
• Krok 3: Odejmij: 2x³ + 3x² - (2x³ + 4x²) = -x². Dopisz -8x.
• Krok 4: -x² : x = -x. Zapisz -x w ilorazie.
• Krok 5: -x(x + 2) = -x² - 2x.
• Krok 6: Odejmij: -x² - 8x - (-x² - 2x) = -6x. Dopisz -12.
• Krok 7: -6x : x = -6. Zapisz -6 w ilorazie.
• Krok 8: -6(x + 2) = -6x - 12.
• Krok 9: Reszta wynosi 0.
• Wynik: 2x² - x - 6.

Sprawdzenie wyniku

Pomnóż dzielnik przez iloraz i dodaj resztę. Powinieneś otrzymać dzielną:

(x + 2)(2x² - x - 6) = 2x³ + 3x² - 8x - 12.

Najczęstsze błędy

• Nieuporządkowanie wielomianu według malejących potęg.
• Pominięcie brakującej potęgi, na przykład 0x².
• Dzielenie całego wielomianu naraz zamiast najwyższych wyrazów.
• Błędna zmiana znaków podczas odejmowania.
• Zakończenie dzielenia mimo zbyt wysokiego stopnia reszty.

Najczęstsze pytania