Dzielenie wielomianu przez dwumian liniowy pozwala zapisać wielomian jako iloczyn dzielnika i ilorazu z ewentualną resztą. Reszta z takiego dzielenia jest liczbą, a dzielenie bez reszty daje rozkład wielomianu na czynniki.
Dzielna, dzielnik, iloraz i reszta: co oznaczają?
Zacznij od liczb: \(17=5\cdot3+2\). Dzielną jest \(17\), dzielnikiem \(5\), ilorazem całkowitym \(3\), a resztą \(2\). Podobnie dzieląc wielomian \(W(x)\) przez \(x-a\), szukamy wielomianu \(Q(x)\) i liczby \(r\). Litera \(a\) jest ustaloną liczbą, na przykład dla dzielnika \(x-2\) mamy \(a=2\).
\(W(x)\) to dzielna, \(x-a\) to dzielnik, \(Q(x)\) to iloraz wielomianowy, a \(r\) to reszta. Tożsamość obowiązuje dla każdego rzeczywistego \(x\).
W dzieleniu wielomianów reszta musi mieć stopień mniejszy niż dzielnik. Dzielnik liniowy ma stopień \(1\), dlatego reszta jest stała lub zerowa. Nie obowiązuje tu liczbowa zasada, że reszta jest nieujemna: reszta wielomianowa może być też ujemną liczbą.
Dwumian to wyrażenie z dwoma niezerowymi składnikami. W tej lekcji dzielimy głównie przez dwumiany liniowe, takie jak \(x-2\) i \(2x+1\). Dzielnik \(x^2+1\) również jest dwumianem, lecz ma stopień \(2\), więc jego reszta może być wielomianem liniowym. Nie stosujemy do niego bezpośrednio opisanego niżej schematu Hornera.
Dzielenie pisemne: skąd bierze się kolejny składnik?
Podzielmy \(x^2+3x+3\) przez \(x+1\). Zastanawiamy się, przez co pomnożyć początkowe \(x\) dzielnika, aby uzyskać najwyższy wyraz dzielnej. To wyznacza pierwszy składnik ilorazu. Następnie odejmujemy cały otrzymany iloczyn i powtarzamy czynność.
- Podziel wyrazy wiodące. Pierwszym składnikiem ilorazu jest \(x\).\(x^2:x=x\)
- Pomnóż cały dzielnik przez \(x\) i odejmij ten iloczyn od dzielnej.\((x^2+3x+3)-(x^2+x)=2x+3\)
- Podziel nowy wyraz wiodący przez \(x\). Dopisz \(2\) do ilorazu.\(2x:x=2\)
- Odejmij iloczyn całego dzielnika i \(2\). Pozostaje liczba, więc kończymy.\((2x+3)-(2x+2)=1\)
- Zapisz iloraz i resztę, a następnie sprawdź przez mnożenie.\(Q(x)=x+2,\quad r=1,\quad (x+1)(x+2)+1=x^2+3x+3\)
Odpowiedź na pytanie o iloraz wielomianowy to \(x+2\), z resztą \(1\). Jeśli zapisujesz wartość ułamka, musisz uwzględnić resztę: \(\frac{x^2+3x+3}{x+1}=x+2+\frac1{x+1}\) dla \(x\neq-1\). Te dwa rodzaje odpowiedzi nie są tym samym.
Jak obliczyć samą resztę bez dzielenia?
W tożsamości \(W(x)=(x-a)Q(x)+r\) podstaw \(x=a\). Czynnik \(x-a\) stanie się zerem i zostanie \(W(a)=r\). To twierdzenie o reszcie. Korzystamy z tożsamości wielomianowej, więc podstawienie jest poprawne, choć ułamek z mianownikiem \(x-a\) nie byłby wtedy określony.
Dla \(W(x)=x^2+2x+5\) i dzielnika \(x-2\) otrzymujemy \(r=W(2)=2^2+2\cdot2+5=13\). Dla dzielnika \(x+3=x-(-3)\) trzeba natomiast podstawić \(-3\). Jeżeli \(W(a)=0\), to reszta znika i \(W(x)=(x-a)Q(x)\). Mówimy wtedy, że \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu, a \(x-a\) jego czynnikiem.
Schemat Hornera: krótszy zapis tego samego dzielenia
Horner działa bezpośrednio dla dzielnika \(x-a\), ze współczynnikiem \(1\) przy \(x\). Podzielmy \(x^3-6x^2+11x-6\) przez \(x-1\). Używamy \(a=1\). Wypisujemy współczynniki w malejącej kolejności potęg. Pierwszy przepisujemy. Potem mnożymy ostatni wynik przez \(a\) i dodajemy następny współczynnik.
| Etap | Rachunek | Wynik |
|---|---|---|
| Przepisz pierwszy współczynnik | \(1\) | \(1\) |
| Pomnóż wynik przez \(1\) i dodaj \(-6\) | \(1\cdot1-6\) | \(-5\) |
| Pomnóż wynik przez \(1\) i dodaj \(11\) | \((-5)\cdot1+11\) | \(6\) |
| Pomnóż wynik przez \(1\) i dodaj \(-6\) | \(6\cdot1-6\) | \(0\) |
Ostatni wynik to reszta. Wcześniejsze wyniki są współczynnikami ilorazu, którego stopień jest o jeden mniejszy od stopnia dzielnej. Odczytujemy \(Q(x)=x^2-5x+6\) oraz \(r=0\). Mnożenie \((x-1)(x^2-5x+6)\) odtwarza wielomian początkowy.
Brakująca potęga i inny współczynnik dzielnika
Wielomian \(x^3-2x+1\) zapisujemy do Hornera ze współczynnikami \(1,0,-2,1\). Zero reprezentuje brakujący wyraz z \(x^2\). Bez niego obliczalibyśmy inny wielomian. Przy dzieleniu przez \(x-1\) kolejne wyniki to \(1,1,-1,0\), a więc iloraz wynosi \(x^2+x-1\), a reszta \(0\).
Dla dzielnika \(2x-2=2(x-1)\) samo wpisanie \(a=1\) nie da właściwego ilorazu. Można najpierw podzielić przez \(x-1\), a otrzymany iloraz podzielić jeszcze przez \(2\); reszta zostaje ta sama. Na przykład \(x^2-1=(2x-2)\frac{x+1}{2}\). Alternatywą jest zwykłe dzielenie pisemne.
Typowy błąd: niewłaściwy znak liczby w Hornerze
Na końcu zawsze sprawdź zależność: dzielnik razy iloraz plus reszta ma dać dzielną. Przy dzieleniu stałej przez wielomian liniowy iloraz jest zerowy, a resztą jest ta stała. Reguła obniżenia stopnia ilorazu o jeden dotyczy dzielnej niezerowej stopnia co najmniej \(1\).