Wyrażenia wymierne

Wyobraź sobie most zbudowany z ułamków. Licznik znajduje się na górnym pomoście, a mianownik podtrzymuje całą konstrukcję. Jeżeli mianownik stanie się równy zero, most znika i nie wolno po nim przejść. Dlatego w wyrażeniach wymiernych najpierw ustalamy dziedzinę.

Co to jest wyrażenie wymierne?

Wyrażeniem wymiernym nazywamy iloraz dwóch wielomianów:

W(x) / Q(x), gdzie Q(x) ≠ 0.

• (x + 1)/(x - 3) jest wyrażeniem wymiernym.
• (2x² - 5)/(x² + 1) jest wyrażeniem wymiernym.
• Każdy wielomian można traktować jako wyrażenie wymierne z mianownikiem 1.

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Z dziedziny wykluczamy wszystkie liczby zerujące mianownik.

• Dla (x + 2)/(x - 4) wykluczamy x = 4.
• Dla 3/(x² - 9) mamy x² - 9 = (x - 3)(x + 3), więc x ≠ 3 i x ≠ -3.

Skracanie wyrażeń wymiernych

Skracać można tylko czynniki, a nie składniki sumy lub różnicy. Dlatego najpierw rozkładamy licznik i mianownik na czynniki.

• (x² - 9)/(x² - 3x) = [(x - 3)(x + 3)]/[x(x - 3)].
• Po skróceniu czynnika x - 3 otrzymujemy (x + 3)/x.
• Warunki z pierwotnego mianownika pozostają: x ≠ 0 oraz x ≠ 3.

Mnożenie i dzielenie

Przy mnożeniu mnożymy liczniki przez liczniki i mianowniki przez mianowniki. Przed mnożeniem warto rozłożyć wszystko na czynniki i skrócić.

• [2x/(x - 1)] · [(x - 1)/(3x)] = 2/3, przy x ≠ 0 i x ≠ 1.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność drugiego wyrażenia.

• A/B : C/D = A/B · D/C.

Dodawanie i odejmowanie

Potrzebny jest wspólny mianownik. Najpierw rozkładamy mianowniki na czynniki, następnie wybieramy najmniejszy wspólny mianownik.

• 1/x + 1/(x + 1) = (x + 1)/[x(x + 1)] + x/[x(x + 1)].
• Po dodaniu liczników: (2x + 1)/[x(x + 1)].

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-R-S-W: Dziedzina, Rozkład na czynniki, Skracanie, Wspólny mianownik. Wyobraź sobie cztery pokoje: w pierwszym strażnik wyrzuca liczby zerujące mianownik, w drugim wielomiany pękają na czynniki, w trzecim nożyce przecinają identyczne czynniki, a w czwartym ogromny wspólny mianownik rozkłada parasol nad wszystkimi licznikami.

Przykład krok po kroku

Uprość wyrażenie (x² - 4)/(x² - x - 2).

• Krok 1: Ustal dziedzinę. Mianownik x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1), więc x ≠ 2 i x ≠ -1.
• Krok 2: Rozłóż licznik: x² - 4 = (x - 2)(x + 2).
• Krok 3: Zapisz iloraz czynników: [(x - 2)(x + 2)]/[(x - 2)(x + 1)].
• Krok 4: Skróć wspólny czynnik x - 2.
• Wynik: (x + 2)/(x + 1), przy x ≠ 2 i x ≠ -1.

Ważna uwaga o dziedzinie

Po skróceniu czynnik może zniknąć z mianownika, ale wykluczenie wynikające z wyrażenia początkowego nadal obowiązuje. Dlatego uproszczone wyrażenie i pierwotne mają tę samą wartość tylko w dziedzinie pierwotnego wyrażenia.

Najczęstsze błędy

• Brak zapisania dziedziny.
• Skracanie składników sumy, na przykład x w (x + 2)/x.
• Zapominanie o zmianie dzielenia na mnożenie przez odwrotność.
• Dodawanie mianowników zamiast sprowadzania do wspólnego mianownika.
• Usuwanie z dziedziny tylko wartości widocznych po skróceniu.

Najczęstsze pytania