Wyrażenie wymierne to ułamek, którego licznik i mianownik są wielomianami. Można obliczyć jego wartość tylko dla takich liczb podstawionych za zmienną, dla których mianownik jest różny od zera.
Od ułamka liczbowego do ułamka z literą
W ułamku \(\frac{6}{3}\) liczba nad kreską jest licznikiem, a pod kreską mianownikiem. Kreska oznacza dzielenie: \(\frac{6}{3}=2\). Wyrażenie \(\frac{x+1}{x-2}\) działa podobnie, ale przed obliczeniem wartości musimy znać \(x\). Dla \(x=5\) licznik wynosi \(6\), mianownik \(3\), więc cały ułamek ma wartość \(2\).
Litera nie zmienia kolejności działań. Licznik i mianownik obliczamy osobno, a dopiero potem dzielimy. Kreska ułamkowa grupuje całą górę i cały dół. Zapis \(\frac{x+1}{x-2}\) oznacza \((x+1):(x-2)\), a nie dzielenie tylko ostatnich składników.
Wielomian może być stałą, na przykład \(1\) lub \(5\). Dlatego \(\frac{3}{x+2}\), \(\frac{x^2-1}{2x}\) i \(\frac{x+1}{5}\) to wyrażenia wymierne. Również każdy wielomian można zapisać w takiej postaci, stawiając go nad mianownikiem \(1\). Wyrażenie \(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\) nie jest ilorazem wielomianów, ponieważ \(\sqrt{x}\) nie jest wielomianem.
Dlaczego mianownik nie może być zerem?
Iloraz \(\frac{6}{3}=2\) oznacza, że \(3\cdot2=6\). Gdyby \(\frac{6}{0}\) miało wartość, musiałaby istnieć liczba, która po pomnożeniu przez zero da \(6\). Takiej liczby nie ma. Również \(\frac00\) nie jest określoną liczbą: każda liczba pomnożona przez zero daje zero, więc nie da się wskazać jednego wyniku dzielenia.
\(P(x)\) oznacza wielomian w liczniku, a \(Q(x)\) wielomian w mianowniku. Symbol \(\neq\) czytamy „jest różne od”.
Zbiór dozwolonych wartości zmiennej nazywamy dziedziną. Dla \(\frac{x+1}{x-2}\) wykluczamy tylko \(x=2\), bo wtedy \(x-2=0\). Na przykład \(x=0\) wolno podstawić: otrzymamy \(\frac1{-2}=-\frac12\). Wykluczamy zera mianownika, a nie automatycznie zero jako wartość zmiennej.
Jak obliczyć wartość i rozpoznać zero wyrażenia?
Dla \(x=3\) wyrażenie \(\frac{x+4}{x-1}\) ma wartość \(\frac{3+4}{3-1}=\frac72\). Obliczenie zawsze zacznij od kontroli mianownika. Dla \(x=1\) nie wykonujemy dalszego dzielenia, bo wartość wyrażenia nie istnieje.
Wyrażenie wymierne ma wartość zero wtedy, gdy licznik jest zerowy, a mianownik niezerowy. W przykładzie \(\frac{x+4}{x-1}\) licznik zeruje się dla \(x=-4\). Mianownik wynosi wtedy \(-5\), więc otrzymujemy \(\frac0{-5}=0\). Ujemny mianownik nie jest problemem; zakaz dotyczy mianownika zerowego.
| Podstawiamy do \(\frac{x+4}{x-1}\) | Licznik | Mianownik | Wynik |
|---|---|---|---|
| \(x=3\) | \(7\) | \(2\) | \(\frac72\) |
| \(x=-4\) | \(0\) | \(-5\) | \(0\) |
| \(x=1\) | \(5\) | \(0\) | Wartość nie istnieje |
To rozróżnienie jest ważne: „wyrażenie ma wartość zero” i „wyrażenie nie ma wartości” to dwa różne wyniki. Pierwszy jest zwykłą liczbą, a drugi oznacza podstawienie niedozwolone.
Uproszczenie ułamka i zachowanie dziedziny
Rozważ \(\frac{x^2-4}{x-2}\). W liczniku mamy różnicę kwadratów: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Po rozkładzie widać wspólny czynnik całego licznika i mianownika. Można go skrócić tylko wtedy, gdy jest niezerowy.
- Sprawdź mianownik początkowy i zapisz wykluczenie.\(x-2\neq0,\quad x\neq2\)
- Rozłóż licznik na czynniki, korzystając z różnicy kwadratów.\(\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\)
- Dla dozwolonych \(x\) iloraz czynnika przez niego samego wynosi \(1\).\(\frac{x-2}{x-2}=1,\quad x\neq2\)
- Zapisz uproszczoną postać razem z warunkiem.\(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2,\quad x\neq2\)
Dla \(x=3\) pierwotny ułamek daje \(\frac{9-4}{3-2}=5\), a uproszczony zapis \(3+2=5\). Dla \(x=2\) sam wzór \(x+2\) dałby \(4\), ale pierwotny ułamek miałby postać \(\frac00\). Skracanie nie dopisuje tej brakującej wartości.
Co wyrażenie wymierne mówi, a czego jeszcze nie rozwiązuje?
Sam zapis \(\frac{x+4}{x-1}\) nie jest równaniem. Możemy wyznaczyć jego dziedzinę, obliczyć wartość dla wskazanego \(x\), uprościć je lub znaleźć, kiedy jest zerem. Dopiero zapis \(\frac{x+4}{x-1}=2\) stawia warunek i tworzy równanie. Przed rozpoczęciem rachunku przeczytaj, o którą z tych czynności pyta zadanie.
Czasem nie ma żadnych wykluczeń. Dla \(\frac{x+1}{x^2+1}\) kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \(x^2+1\geq1\). Mianownik nigdy nie jest zerem. Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, mimo że w mianowniku występuje litera.
Typowy błąd: usuwanie wykluczenia po skróceniu
Zachowuj wykluczenia obok odpowiedzi. Zanim skrócisz, sprawdź też, czy powtarzający się fragment jest czynnikiem całego licznika i mianownika. W \(\frac{x+2}{x}\) nie wolno skreślić litery \(x\), bo w liczniku występuje suma.