Dziedzina wyrażenia wymiernego to zbiór wszystkich dozwolonych wartości zmiennej. Dla ułamka z wielomianami w liczniku i mianowniku wykluczamy dokładnie te liczby rzeczywiste, które zerują mianownik pierwotnego ułamka.
Co oznacza polecenie „wyznacz dziedzinę”?
Nie szukamy jednej liczby do podstawienia. Szukamy wszystkich liczb, dla których zapis ma sens. W \(\frac{2}{x-3}\) można podstawić na przykład \(0\), \(2\) albo \(4\). Nie można podstawić \(3\), ponieważ mianownik wyniósłby zero. Odpowiedź brzmi: wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(3\).
Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy \(\mathbb{R}\), a dziedzinę zwykle literą \(D\). Symbol \(\setminus\) oznacza usunięcie wskazanych elementów ze zbioru. Zapis \(D=\mathbb{R}\setminus\{3\}\) czytamy „wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem trzech”. Nawiasy klamrowe obejmują konkretne wykluczone liczby.
Dla ułamka \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) bierzemy te liczby rzeczywiste \(x\), dla których wielomian w mianowniku jest niezerowy. Dwukropek w zapisie zbioru oznacza „takie, że”.
Licznik będący wielomianem można obliczyć dla każdego rzeczywistego \(x\). Dlatego sam nie dodaje ograniczeń. Jego zero jest dozwolone, jeśli nie zeruje jednocześnie mianownika. Nie przenoś tej zasady bez sprawdzenia na wyrażenia z pierwiastkiem lub na dzielenie przez cały ułamek.
Najprostszy mianownik: jedno równanie liniowe
Znajdźmy dziedzinę \(\frac{x+1}{2x+6}\). Zaczynamy od pytania, dla jakiego \(x\) mianownik byłby zerem. Rozwiązujemy pomocnicze równanie \(2x+6=0\): odejmujemy \(6\), otrzymując \(2x=-6\), a potem dzielimy przez \(2\), więc \(x=-3\).
Znaleziona liczba jest zakazana, a nie jedyną liczbą należącą do dziedziny. Zapisujemy zatem \(x\neq-3\), czyli \(D=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\). Kontrola: \(2\cdot(-3)+6=0\). Natomiast \(x=-1\), które zeruje licznik, jest dopuszczalne, bo mianownik wynosi wtedy \(4\).
Ten sam schemat stosujemy dla \(x-5\): zerem mianownika jest \(5\), nie \(-5\). Najbezpieczniej rozwiązać krótkie równanie, zamiast próbować odgadywać znak z wyglądu wyrażenia.
Iloczyn w mianowniku: wyklucz zero każdego czynnika
Iloczyn liczb jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem. Żeby iloczyn był niezerowy, wszystkie czynniki muszą być niezerowe. Dla mianownika \((x-3)(x+2)\) wykluczamy więc zarówno \(3\), jak i \(-2\).
Czasem taki iloczyn trzeba najpierw rozpoznać. Rozważ \(\frac{x+1}{x^2-x-6}\). Szukamy dwóch liczb, których iloczyn wynosi \(-6\), a suma \(-1\). Są to \(-3\) i \(2\), dlatego \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). Rozkład można sprawdzić mnożeniem: \(x^2+2x-3x-6=x^2-x-6\).
- Zapisz warunek dotyczący całego mianownika i rozłóż go na czynniki.\((x-3)(x+2)\neq0\)
- Każdy czynnik musi być niezerowy.\(x-3\neq0,\quad x+2\neq0\)
- Wypisz obie wykluczone wartości.\(x\neq3,\quad x\neq-2\)
- Zapisz dziedzinę jako zbiór pozostałych liczb rzeczywistych.\(D=\mathbb{R}\setminus\{-2,3\}\)
Na rysunku puste kółka oznaczają dwa wykluczenia. Cała pozostała oś należy do dziedziny, także liczby pomiędzy wykluczonymi punktami. Nie usuwamy całego przedziału od \(-2\) do \(3\).
Kwadraty, powtórzone czynniki i brak wykluczeń
Dla \(\frac1{x^2-9}\) stosujemy różnicę kwadratów: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Wykluczamy \(-3\) oraz \(3\). Sama dodatnia odpowiedź nie wystarczy, bo kwadrat liczby ujemnej także może być dodatni.
Mianownik \((x-1)^2\) zeruje się tylko dla \(x=1\). Powtórzony czynnik nie tworzy nowej wykluczonej liczby: zapisujemy \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Z kolei \(x^2+5\geq5\) dla każdego rzeczywistego \(x\), więc ułamek z takim mianownikiem ma dziedzinę \(\mathbb{R}\).
Nie traktuj każdego kwadratu jednakowo: w \(x^2-9\) od nieujemnego kwadratu odejmujemy liczbę, więc zero jest możliwe. W \(x^2+5\) dodajemy liczbę dodatnią, więc zero jest niemożliwe.
Kilka ułamków i dzielenie przez wyrażenie
W sumie \(\frac1{x-1}+\frac2{x+3}\) oba ułamki muszą istnieć jednocześnie. Pierwszy wyklucza \(1\), drugi \(-3\). Łączymy wszystkie zakazy: \(D=\mathbb{R}\setminus\{-3,1\}\). Nie musimy dodawać ułamków, żeby ustalić tę dziedzinę.
Przy dzieleniu obowiązuje dodatkowo zakaz dzielenia przez zero. W zapisie \(\frac1x:\frac{x-2}{x+1}\) mianowniki wykluczają \(0\) i \(-1\), a cały dzielnik jest zerem dla \(x=2\). Ostatecznie \(D=\mathbb{R}\setminus\{-1,0,2\}\). To właśnie powód, dla którego regułę „patrz tylko na mianownik” stosujemy bezpośrednio do pojedynczego ułamka z wielomianami, a w całym działaniu kontrolujemy również dzielniki.
Typowy błąd: dziedzina wyznaczona dopiero po skróceniu
Najpierw wypisz ograniczenia, potem upraszczaj. Kontrolnie podstaw każdą wykluczoną liczbę do pierwotnego mianownika: powinno wyjść zero. Sprawdź też, czy nie wykluczyłeś liczby tylko dlatego, że zeruje licznik.