Dziedzina wyrażenia wymiernego

Wyobraź sobie bramkę na stadion. Każda liczba chce wejść do wyrażenia, ale ochroniarz sprawdza mianownik. Jeżeli po podstawieniu mianownik jest równy zero, bramka zamyka się i ta liczba nie należy do dziedziny.

Co oznacza dziedzina wyrażenia?

Dziedzina to zbiór wszystkich liczb, dla których dane wyrażenie ma sens. W wyrażeniach wymiernych najważniejsza jest zasada:

Mianownik nie może być równy zero.

Jak ustalać dziedzinę?

• Znajdź wszystkie mianowniki występujące w wyrażeniu.
• Przyrównaj każdy mianownik do zera.
• Rozwiąż otrzymane równania.
• Wyklucz znalezione wartości z dziedziny.

Prosty przykład

Dla wyrażenia 5/(x - 2) mianownik to x - 2.

• x - 2 = 0
• x = 2
• Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste poza 2.

Mianownik w postaci iloczynu

Jeśli mianownik jest iloczynem, wystarczy sprawdzić, kiedy zeruje się każdy czynnik.

Dla 3/[(x - 4)(x + 1)] mamy:

• x - 4 = 0, więc x = 4,
• x + 1 = 0, więc x = -1.
• Dziedzina: x ≠ 4 oraz x ≠ -1.

Mianownik kwadratowy

Dla 1/(x² - 9) rozkładamy mianownik:

x² - 9 = (x - 3)(x + 3).

Wykluczamy x = 3 oraz x = -3.

Gdy mianownik nigdy nie jest zerem

Nie każdy mianownik daje wykluczenia. Na przykład x² + 1 jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej, więc wyrażenie 1/(x² + 1) ma dziedzinę równą całemu zbiorowi liczb rzeczywistych.

Dziedzina przy kilku ułamkach

Jeżeli w wyrażeniu występuje kilka mianowników, trzeba uwzględnić wszystkie ograniczenia.

Dla 1/(x - 2) + 3/(x + 5) wykluczamy x = 2 i x = -5.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim M-Z-W: Mianownik, Zero, Wyklucz. Wyobraź sobie wielkiego ochroniarza stojącego pod kreską ułamkową. Każda liczba przechodzi przez skaner. Gdy na ekranie pojawia się gigantyczne czerwone zero, ochroniarz uruchamia katapultę i wyrzuca tę liczbę poza dziedzinę.

Przykład krok po kroku

Wyznacz dziedzinę wyrażenia (x + 1)/(x² - x - 6).

• Krok 1: Spójrz na mianownik x² - x - 6.
• Krok 2: Rozłóż go na czynniki: x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2).
• Krok 3: Przyrównaj czynniki do zera.
• x - 3 = 0, więc x = 3.
• x + 2 = 0, więc x = -2.
• Krok 4: Wyklucz te liczby.
• Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste poza -2 i 3.

Dziedzina po skróceniu

Warunki dziedziny ustalamy zawsze z wyrażenia początkowego. Na przykład (x - 2)/(x - 2) po skróceniu daje 1, ale liczba x = 2 nadal nie należy do dziedziny, ponieważ w wyrażeniu początkowym powodowała dzielenie przez zero.

Najczęstsze błędy

• Sprawdzanie licznika zamiast mianownika.
• Wykluczanie tylko jednej wartości przy mianowniku z kilkoma czynnikami.
• Zapominanie o rozłożeniu wielomianu na czynniki.
• Usuwanie ograniczenia po skróceniu wspólnego czynnika.
• Zapisywanie jako dziedziny wyłącznie liczb wykluczonych zamiast wszystkich liczb poza nimi.

Najczęstsze pytania