Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych polega na dzieleniu albo mnożeniu całego licznika i całego mianownika przez ten sam niezerowy czynnik. Wartość ułamka pozostaje taka sama dla tych wartości zmiennej, dla których obie postacie są określone.
Składnik a czynnik: różnica, od której trzeba zacząć
Składniki łączymy dodawaniem, a czynniki mnożeniem. W \(x+3\) mamy składniki \(x\) i \(3\). W \(x(x+3)\) mamy czynniki \(x\) oraz cały nawias \(x+3\). Nawias może więc być jednym czynnikiem, mimo że w środku zawiera sumę.
Przypomnij sobie ułamki liczbowe: \(\frac{6}{9}=\frac{3\cdot2}{3\cdot3}=\frac23\). Skróciliśmy wspólny czynnik \(3\), czyli podzieliliśmy cały licznik i cały mianownik przez \(3\). Nie usunęliśmy przypadkowo takich samych cyfr.
W algebrze działamy identycznie: \(\frac{x(x+3)}{x}=x+3\) dla \(x\neq0\). Cały licznik jest iloczynem zawierającym \(x\). Natomiast w \(\frac{x+3}{x}\) litera w liczniku jest tylko składnikiem. Można zapisać ten ułamek jako \(1+\frac3x\), ale nie jako samo \(3\).
Dlaczego skracany czynnik musi być niezerowy?
Litery mogą oznaczać całe wyrażenia. Skracanie czynnika \(C\) oznacza podzielenie obu części ułamka przez \(C\).
Jeśli \(C=0\), pierwotny mianownik \(BC\) również byłby zerem i ułamek nie miałby wartości. Dlatego zakaz pozostaje ważny po skróceniu. Przykładowo \(\frac{6x}{9x}=\frac23\) dla \(x\neq0\). Wynik liczbowy nie oznacza, że pierwotny ułamek można obliczyć również dla zera.
Przy skracaniu kilku liter kontrolujemy każdą. W \(\frac{3x^2y}{6xy^2}\) pierwotny mianownik wymaga \(x\neq0\) oraz \(y\neq0\). Skracamy czynnik \(3xy\) i otrzymujemy \(\frac{x}{2y}\), zachowując oba warunki, choć litera \(x\) nie występuje już w mianowniku.
Pełny przykład: najpierw rozkład, potem skracanie
Uprośćmy \(\frac{x^2-4}{x^2-2x}\). W tej postaci nie wolno po prostu skreślić \(x^2\). Zapiszemy zarówno licznik, jak i mianownik w postaci iloczynów. W liczniku wykorzystamy różnicę kwadratów, a w mianowniku wyłączymy wspólny czynnik.
- Rozłóż mianownik i znajdź niedozwolone wartości.\(x^2-2x=x(x-2),\quad x\neq0,\quad x\neq2\)
- Rozłóż licznik, rozpoznając kwadrat liczby \(2\).\(x^2-4=(x-2)(x+2)\)
- Zapisz ułamek jako iloraz iloczynów. Teraz wspólny czynnik jest widoczny.\(\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}\)
- Podziel licznik i mianownik przez niezerowy czynnik \(x-2\). Zachowaj oba wykluczenia.\(\frac{x+2}{x},\quad x\neq0,\quad x\neq2\)
Sprawdźmy wynik dla \(x=4\). Wyrażenie początkowe daje \(\frac{16-4}{16-8}=\frac{12}{8}=\frac32\). Uproszczone daje \(\frac{4+2}{4}=\frac64=\frac32\). Zgodność potwierdza rachunek dla tej liczby. Warunek \(x\neq2\) nadal zapisujemy osobno, bo nowy mianownik sam już o nim nie przypomina.
Rozszerzanie: po co komplikować prostszy ułamek?
Rozszerzanie pomaga uzyskać wspólny mianownik przed dodawaniem lub odejmowaniem ułamków. Tak jak \(\frac12=\frac36\), tak \(\frac2x=\frac{2(x+1)}{x(x+1)}\), ale tylko dla \(x\neq0\) i \(x\neq-1\). Pomnożyliśmy obie części przez \(x+1\).
Pierwotny ułamek \(\frac2x\) był określony przy \(x=-1\), lecz rozszerzony zapis ma tam mianownik zero. Dlatego rozszerzanie przez wyrażenie zależne od zmiennej może zawęzić dziedzinę zapisu. Nie wolno twierdzić, że obie postacie są równe dla wszystkich wartości pierwotnej dziedziny, jeśli wprowadzony czynnik gdzieś się zeruje.
W działaniu \(\frac2x+\frac1{x+1}\) liczba \(-1\) już jest wykluczona przez drugi ułamek. Rozszerzenie pierwszego przez \(x+1\) jest więc dozwolone w całej dziedzinie tego działania. Gdy rozszerzamy przez stałą niezerową, na przykład \(3\), żadne nowe wykluczenie nie powstaje.
Przeciwne czynniki i kontrola znaków
Nawiasy \(x-2\) oraz \(2-x\) nie są identyczne: \(2-x=-(x-2)\). Dlatego \(\frac{2-x}{x-2}=-1\) dla \(x\neq2\). Najpierw wyłącz minus przed jeden nawias, dopiero potem skracaj.
W \(\frac{2x^2-8}{4x-8}\) licznik to \(2(x-2)(x+2)\), a mianownik \(4(x-2)\). Po skróceniu czynnika \(x-2\) i uproszczeniu współczynników \(2\) oraz \(4\) dostajemy \(\frac{x+2}{2}\) dla \(x\neq2\). Skracanie obejmuje zarówno czynniki liczbowe, jak i algebraiczne.
Typowy błąd: skreślanie składnika sumy
Przed każdym skróceniem nazwij czynnik, przez który dzielisz obie części ułamka. Jeśli nie da się go wyłączyć z całego licznika i całego mianownika, takie skracanie jest niepoprawne. Na końcu dopisz warunki obowiązujące w wyrażeniu początkowym.