Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych

Wyobraź sobie pizzę pokrojoną na różną liczbę kawałków. Połowa pizzy może być zapisana jako 1/2, 2/4 albo 4/8 — wygląd ułamka się zmienia, ale jego wartość pozostaje taka sama. Tak samo działa skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych.

Na czym polega skracanie?

Skracanie polega na podzieleniu licznika i mianownika przez ten sam niezerowy czynnik.

A·C / B·C = A / B, gdy C ≠ 0.

Najważniejsze: skracamy wyłącznie czynniki, a nie składniki sumy lub różnicy.

Najpierw rozkład na czynniki

Zanim skrócisz wyrażenie, rozłóż licznik i mianownik na iloczyny.

• (x² - 9)/(x² - 3x) = [(x - 3)(x + 3)]/[x(x - 3)].
• Po skróceniu czynnika x - 3 otrzymujemy (x + 3)/x.
• Warunki dziedziny z wyrażenia początkowego pozostają: x ≠ 0 i x ≠ 3.

Czego nie wolno skracać?

Nie można skracać pojedynczych składników oddzielonych znakiem plus lub minus.

• (x + 4)/x nie można skrócić przez x.
• (x² + x)/x można skrócić dopiero po wyłączeniu x przed nawias: x(x + 1)/x = x + 1, przy x ≠ 0.

Na czym polega rozszerzanie?

Rozszerzanie polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez ten sam niezerowy czynnik.

A/B = A·C / B·C, gdy C ≠ 0.

Rozszerzanie wykorzystujemy głównie przy sprowadzaniu wyrażeń do wspólnego mianownika.

Przykład rozszerzania

Aby rozszerzyć 2/(x + 1) przez x - 3, mnożymy licznik i mianownik przez x - 3:

2/(x + 1) = 2(x - 3)/[(x + 1)(x - 3)].

Wspólny mianownik

Dla wyrażeń 1/x oraz 2/(x + 2) wspólnym mianownikiem jest x(x + 2).

• 1/x rozszerzamy przez x + 2: (x + 2)/[x(x + 2)].
• 2/(x + 2) rozszerzamy przez x: 2x/[x(x + 2)].

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim R-C-S-D: Rozłóż na czynniki, Cofnij wspólne czynniki, Sprawdź dziedzinę, Dopiero wtedy zapisz wynik. Wyobraź sobie ogromne nożyce unoszące się nad licznikiem i mianownikiem. Nożyce tną tylko identyczne całe paczki-czynniki. Gdy próbujesz przeciąć samotne x ukryte w sumie x + 4, nożyce zaczynają głośno wyć i odskakują jak sprężyna.

Przykład krok po kroku

Uprość wyrażenie (x² - 4x)/(x² - 16).

• Krok 1: Ustal dziedzinę z mianownika: x² - 16 = (x - 4)(x + 4), więc x ≠ 4 i x ≠ -4.
• Krok 2: Rozłóż licznik: x² - 4x = x(x - 4).
• Krok 3: Zapisz iloraz czynników: x(x - 4)/[(x - 4)(x + 4)].
• Krok 4: Skróć wspólny czynnik x - 4.
• Wynik: x/(x + 4), przy x ≠ 4 i x ≠ -4.

Przykład rozszerzania krok po kroku

Rozszerz wyrażenie 3/(x - 2) przez x + 5.

• Krok 1: Pomnóż licznik przez x + 5: 3(x + 5).
• Krok 2: Pomnóż mianownik przez x + 5: (x - 2)(x + 5).
• Wynik: 3(x + 5)/[(x - 2)(x + 5)].

Najczęstsze błędy

• Skracanie składników zamiast czynników.
• Brak rozkładu wielomianów na czynniki.
• Pomnożenie tylko licznika albo tylko mianownika podczas rozszerzania.
• Zapominanie o warunkach dziedziny z wyrażenia początkowego.
• Skracanie przez wyrażenie, które może być równe zero, bez zapisania odpowiedniego ograniczenia.

Najczęstsze pytania