Działania na wyrażeniach wymiernych wykonujemy według tych samych reguł co działania na ułamkach liczbowych. Dodatkowo ustalamy dziedzinę, rozkładamy wielomiany na czynniki i zachowujemy wykluczenia po uproszczeniu wyniku.
Najpierw rozpoznaj działanie i ustal warunki
W wyrażeniu \(\frac AB\) kreska oznacza dzielenie, a \(B\) musi być niezerowe. Litery \(A\) i \(B\) mogą oznaczać całe wielomiany. W sumie, różnicy i iloczynie ułamków niezerowy musi być każdy pierwotny mianownik. Przy dzieleniu także cały drugi ułamek, czyli dzielnik, nie może być zerem.
Zanim zaczniesz długi rachunek, zapisz wykluczenia obok przykładu. Dla \(\frac1x+\frac1{x+1}\) są to \(x\neq0\) oraz \(x\neq-1\). Oba ułamki muszą istnieć jednocześnie. Nawet jeśli po przekształceniach zniknie któryś czynnik mianownika, odpowiadającego mu zakazu nie usuwamy.
Wybierz metodę na podstawie znaku między ułamkami. Dodawanie i odejmowanie wymagają wspólnego mianownika. Mnożenie go nie wymaga. Dzielenie najpierw zamieniamy na mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka.
Dodawanie: dlaczego potrzebny jest wspólny mianownik?
Przy \(\frac15+\frac25\) dodajemy liczbę jednakowych części i otrzymujemy \(\frac35\), a nie \(\frac3{10}\). Tak samo \(\frac2x+\frac3x=\frac5x\) dla \(x\neq0\). Gdy mianowniki są różne, najpierw trzeba zapisać ułamki za pomocą takich samych części.
Pierwszy ułamek rozszerzamy przez \(D\), drugi przez \(B\). Iloczyn mianowników zawsze jest wspólnym mianownikiem, choć nie zawsze najprostszym.
Na przykład \(\frac1x+\frac1{x+1}=\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}\), przy \(x\neq0,-1\). Licznik pierwszego ułamka także mnożymy przez \(x+1\), a licznik drugiego przez \(x\). Zmiana samych mianowników zmieniłaby wartości ułamków.
Dla mianowników \(x\) i \(2x\) wystarczy wspólny mianownik \(2x\). Przykładowo \(\frac3x-\frac1{2x}=\frac6{2x}-\frac1{2x}=\frac5{2x}\), przy \(x\neq0\). Nie ma potrzeby wprowadzać większego mianownika \(2x^2\).
Odejmowanie: nawias chroni przed zgubieniem minusa
Obliczmy \(\frac2{x-1}-\frac1{x+1}\). Wspólny mianownik to \((x-1)(x+1)\). Odejmujemy cały licznik drugiego rozszerzonego ułamka, dlatego obejmujemy go nawiasem.
- Wyklucz liczby zerujące pierwotne mianowniki.\(x\neq1,\quad x\neq-1\)
- Rozszerz oba ułamki: pierwszy przez \(x+1\), drugi przez \(x-1\).\(\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}\)
- Połącz liczniki, zachowując minus przed całym drugim licznikiem.\(\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}\)
- Usuń nawiasy i połącz wyrazy podobne w liczniku.\(2x+2-x+1=x+3\)
- Zapisz wynik z wykluczeniami.\(\frac{x+3}{(x-1)(x+1)},\quad x\neq-1,\quad x\neq1\)
Dla \(x=2\) wyrażenie początkowe daje \(2-\frac13=\frac53\), a wynik daje \(\frac{2+3}{(2-1)(2+1)}=\frac53\). Taka kontrola pomaga wykryć błąd znaku. W liczniku wyniku nie ma wspólnego czynnika z całym mianownikiem, więc dalej nie skracamy.
Mnożenie: rozkładaj na czynniki przed rozwijaniem nawiasów
Mnożąc ułamki, mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik: \(\frac AB\cdot\frac CD=\frac{AC}{BD}\) dla \(B\neq0\), \(D\neq0\). Jeśli widać wspólne czynniki, warto skrócić je przed wykonaniem mnożenia. Skracamy czynniki iloczynu, a nie wybrane składniki sumy.
Rozważ \(\frac{x^2-4}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x-2}\). Pierwotne mianowniki dają \(x\neq-1,2\). Po rozkładzie różnicy kwadratów mamy \(\frac{(x-2)(x+2)(x+1)}{(x+1)(x-2)}\). Czynniki \(x+1\) i \(x-2\) są niezerowe w dziedzinie, więc je skracamy. Wynik to \(x+2\) z oboma wykluczeniami.
Rozwijanie wszystkich nawiasów przed skracaniem też może prowadzić do wyniku, ale ukrywa wspólne czynniki i wydłuża rachunek. Najpierw sprawdź, czy rozkład daje prostsze rozwiązanie.
Dzielenie: odwracamy drugi ułamek
Dla liczb \(\frac12:\frac34=\frac12\cdot\frac43=\frac23\). Analogicznie \(\frac AB:\frac CD=\frac AB\cdot\frac DC\). Wymagamy \(B\neq0\), \(D\neq0\) oraz \(C\neq0\): oba ułamki muszą istnieć, a drugi dodatkowo nie może być zerem.
Przeanalizuj \(\frac{x}{x-1}:\frac{x^2}{x+2}\). Mianowniki wykluczają \(1\) i \(-2\). Licznik dzielnika \(x^2\) nie może być zerem, więc dodatkowo \(x\neq0\). Dopiero teraz odwracamy drugi ułamek: \(\frac{x}{x-1}\cdot\frac{x+2}{x^2}=\frac{x(x+2)}{(x-1)x^2}=\frac{x+2}{x(x-1)}\). Zachowujemy \(x\neq-2,0,1\).
Nie wystarczy spojrzeć na końcowy mianownik: nie zawiera on już czynnika \(x+2\), ale pierwotny dzielnik nie istniał dla \(x=-2\). Ta liczba nadal jest wykluczona. Przy kilku działaniach pamiętaj też o zwykłej kolejności: nawiasy, mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie.
Typowy błąd: dodawanie mianowników
Kończąc rozwiązanie, skontroluj cztery rzeczy: pierwotne wykluczenia, mnożenie obu części przy rozszerzaniu, nawias po minusie oraz odwrócenie wyłącznie dzielnika przy dzieleniu. Te kontrole dotyczą innych etapów, więc nie zastępują się wzajemnie.