Działania na wyrażeniach wymiernych

Wyobraź sobie cztery stanowiska w kuchni: jedno łączy składniki, drugie je odejmuje, trzecie miesza porcje, a czwarte dzieli je na części. Każde stanowisko ma własną zasadę działania, ale wszystkie najpierw sprawdzają, czy mianownik nie jest równy zero.

Najpierw dziedzina

Przed każdym działaniem zapisz ograniczenia wynikające ze wszystkich mianowników występujących w wyrażeniu początkowym.

• Dla 1/(x-2) + 3/(x+1) wykluczamy x=2 oraz x=-1.
• Warunki te pozostają aktualne również po uproszczeniu wyniku.

Dodawanie i odejmowanie

Aby dodać lub odjąć wyrażenia wymierne, trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika.

• Rozłóż mianowniki na czynniki.
• Wyznacz najmniejszy wspólny mianownik.
• Rozszerz każdy ułamek.
• Dodaj lub odejmij liczniki.
• Uprość wynik.

Przykład: 1/x + 2/(x+1) = (x+1)/[x(x+1)] + 2x/[x(x+1)] = (3x+1)/[x(x+1)].

Mnożenie

Przy mnożeniu mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Najwygodniej najpierw rozłożyć wszystko na czynniki i skrócić wspólne czynniki.

Przykład: [(x-2)/(x+3)]·[(x+3)/(x+1)] = (x-2)/(x+1), przy x≠-3 i x≠-1.

Dzielenie

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność drugiego wyrażenia.

A/B : C/D = A/B · D/C.

Pamiętaj, że dzielnik nie może być równy zero, więc dodatkowo licznik drugiego wyrażenia także nie może się zerować.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-W-R-S: Dziedzina, Wspólny mianownik lub odwrotność, Rozkład na czynniki, Skrócenie i sprawdzenie. Wyobraź sobie cztery pokoje pałacu pamięci. W pierwszym ochroniarz wyrzuca liczby zerujące mianownik. W drugim dwa gigantyczne mosty łączą się we wspólny mianownik. W trzecim wirująca maszyna odwraca drugi ułamek do góry nogami. W czwartym ogromne nożyce tną identyczne czynniki, a cały pokój wybucha konfetti, gdy wynik jest poprawnie uproszczony.

Przykład krok po kroku

Oblicz 2/(x-1) - 1/(x+1).

• Krok 1: Dziedzina: x≠1 oraz x≠-1.
• Krok 2: Wspólny mianownik: (x-1)(x+1).
• Krok 3: Rozszerz pierwszy ułamek przez x+1: 2(x+1)/[(x-1)(x+1)].
• Krok 4: Rozszerz drugi ułamek przez x-1: (x-1)/[(x-1)(x+1)].
• Krok 5: Odejmij liczniki: 2(x+1) - (x-1) = 2x+2-x+1 = x+3.
• Wynik: (x+3)/[(x-1)(x+1)], przy x≠1 i x≠-1.

Przykład dzielenia krok po kroku

Oblicz [(x²-4)/(x+1)] : [(x-2)/(x+3)].

• Krok 1: Dziedzina z mianowników: x≠-1 i x≠-3.
• Krok 2: Dzielnik nie może być zerem, więc x-2≠0, czyli x≠2.
• Krok 3: Zamień dzielenie na mnożenie przez odwrotność.
• [(x²-4)/(x+1)]·[(x+3)/(x-2)].
• Krok 4: Rozłóż x²-4=(x-2)(x+2).
• Krok 5: Skróć x-2.
• Wynik: (x+2)(x+3)/(x+1), przy x≠-3, x≠-1 i x≠2.

Najczęstsze błędy

• Dodawanie mianowników zamiast sprowadzenia do wspólnego mianownika.
• Odejmowanie bez nawiasu przed całym drugim licznikiem.
• Brak odwrócenia drugiego wyrażenia przy dzieleniu.
• Pomijanie dodatkowego warunku, że dzielnik nie może być równy zero.
• Skracanie składników sumy zamiast całych czynników.
• Zapominanie o warunkach dziedziny z wyrażenia początkowego.

Najczęstsze pytania