Przekształcanie wzorów polega na takim zapisaniu tej samej zależności, aby wskazana litera została sama po jednej stronie znaku równości. Stosujemy działania po obu stronach równania i pilnujemy warunków, zwłaszcza zakazu dzielenia przez zero.
Co znaczy „wyznacz wskazaną zmienną”?
We wzorze \(s=vt\) droga \(s\) jest już wyznaczona: stoi sama po lewej stronie. Jeśli pytamy o czas \(t\), chcemy otrzymać zapis zaczynający się od \(t=\). Pozostałe litery traktujemy podczas przekształcania jak ustalone wartości. Nie musimy znać ich konkretnych wartości liczbowych.
Litery obok siebie oznaczają mnożenie: \(vt=v\cdot t\). Aby z \(s=vt\) otrzymać samo \(t\), dzielimy obie strony przez \(v\), pod warunkiem \(v\neq0\). Dostajemy \(t=\frac sv\). To nadal ta sama zależność, tylko przydatna do obliczenia innej wielkości.
Znak równości można odczytać w obie strony. Zapisy \(\frac sv=t\) i \(t=\frac sv\) mówią to samo. Samo zamienienie miejscami całej lewej i prawej strony nie zmienia znaków składników.
Działania odwrotne i ich właściwa kolejność
Dodawanie cofamy odejmowaniem, odejmowanie dodawaniem, mnożenie przez niezerową liczbę dzieleniem, a dzielenie mnożeniem. Równowagę zachowujemy, robiąc to samo po obu stronach. W \(y=3x+2\) najpierw mnożymy \(x\) przez \(3\), potem dodajemy \(2\). Cofamy te czynności w odwrotnej kolejności.
Najpierw odejmujemy \(2\): \(y-2=3x\). Następnie dzielimy obie strony przez \(3\): \(x=\frac{y-2}{3}\). Kreska ułamkowa obejmuje całą różnicę \(y-2\). Zapis \(\frac y3-2\) oznaczałby inne działanie.
Odejmujemy \(b\) od obu stron, a potem dzielimy obie strony przez niezerowe \(a\). Całe \(y-b\) znajduje się w liczniku.
Gdy \(a=0\), nie wolno użyć tego wzoru. Początkowe równanie ma wtedy postać \(y=b\). Jeżeli ta równość jest prawdziwa, pasuje dowolne \(x\); jeśli jest fałszywa, żadne \(x\) nie pasuje. Warunek przy mianowniku wynika więc z matematyki, a nie jest dodatkiem do zapamiętania bez powodu.
Wzór z nawiasem i ułamkiem: wyznaczanie wysokości
Pole trapezu opisuje wzór \(A=\frac{(a+b)h}{2}\), gdzie \(a\) i \(b\) są długościami podstaw, a \(h\) wysokością. Chcemy wyznaczyć \(h\). Jest ona mnożona przez \(a+b\), a powstały iloczyn dzielony przez \(2\). Najpierw cofniemy ostatnie działanie.
- Pomnóż obie strony przez \(2\), aby zlikwidować dzielenie przez \(2\).\(2A=(a+b)h\)
- Aby zostawić samo \(h\), podziel obie strony przez cały czynnik \(a+b\).\(\frac{2A}{a+b}=h,\quad a+b\neq0\)
- Zapisz szukaną literę po lewej stronie.\(h=\frac{2A}{a+b}\)
- Sprawdź przekształcenie przez podstawienie do wzoru początkowego i skrócenie niezerowego czynnika.\(\frac{(a+b)\cdot\frac{2A}{a+b}}{2}=A\)
Dla rzeczywistego trapezu długości podstaw są dodatnie, więc ich suma jest niezerowa. Przy \(A=30\), \(a=4\), \(b=6\), w zgodnych jednostkach, wysokość wynosi \(h=\frac{2\cdot30}{4+6}=6\). Kontrola: \(\frac{(4+6)\cdot6}{2}=30\).
Z tego samego wzoru można wyznaczyć podstawę \(a\). Po pomnożeniu przez \(2\) dzielimy przez \(h\), a następnie odejmujemy \(b\): \(a=\frac{2A}{h}-b\), przy \(h\neq0\). Za każdym razem patrzymy, jakie działania otaczają aktualnie szukaną literę.
Gdy szukana litera jest w mianowniku lub występuje dwa razy
Ze wzoru \(v=\frac st\) chcemy wyznaczyć \(t\). Już na początku obowiązuje \(t\neq0\). Mnożymy obie strony przez \(t\): \(vt=s\). Jeśli \(v\neq0\), dzielimy przez \(v\): \(t=\frac sv\). Wynik musi też spełniać pierwotny warunek \(t\neq0\); nie zapominamy o nim tylko dlatego, że przenieśliśmy literę z mianownika.
Jeśli szukana litera występuje w kilku miejscach, trzeba ją zebrać w jeden czynnik. W \(P=ax+bx\) wyłączamy \(x\): \(P=(a+b)x\). Następnie dzielimy przez \(a+b\), otrzymując \(x=\frac{P}{a+b}\) dla \(a+b\neq0\). Dzielenie wyłącznie przez \(a\) nie odizolowałoby litery \(x\).
Podobnie w równaniu \(a-b=c\), gdy szukamy \(b\), możemy dodać \(b\) do obu stron: \(a=b+c\). Odejmując \(c\), otrzymujemy \(b=a-c\). Nie musimy zapamiętywać hasła o automatycznej zmianie znaków przy „przenoszeniu”.
Kwadrat i pierwiastek: kiedy potrzebne są dwa znaki?
Z równania \(x^2=9\) wynikają dwie liczby: \(x=3\) lub \(x=-3\), ponieważ obie po podniesieniu do kwadratu dają \(9\). Sam symbol \(\sqrt9\) oznacza natomiast nieujemny pierwiastek, czyli \(3\). Dlatego dla \(k\geq0\) rozwiązanie \(x^2=k\) zapisujemy \(x=\pm\sqrt{k}\); gdy \(k=0\), oba znaki dają to samo zero.
W geometrii warunki mogą wybrać jeden znak. Z \(P=\pi r^2\) otrzymujemy \(r^2=\frac P\pi\). Promień koła jest dodatni, więc dla \(P\gt0\) bierzemy \(r=\sqrt{\frac P\pi}\). Przy \(P=9\pi\) dostajemy \(r=3\), a nie \(-3\). Odrzucenie ujemnej wartości wynika ze znaczenia promienia.
Nie podnoś obu stron do kwadratu bez potrzeby. To działanie może wprowadzić dodatkowe rozwiązania: z \(x=-2\) wynika \(x^2=4\), ale drugie równanie dopuszcza także \(x=2\). Przy takich przekształceniach koniecznie wracamy do warunków początkowych.
Typowy błąd: dzielenie tylko fragmentu strony
Przed zakończeniem sprawdź: czy szukana litera została sama, czy działanie dotyczyło całej strony, czy mianowniki są niezerowe i czy ewentualny wybór znaku wynika z warunków. Podstawienie otrzymanego wzoru do zależności początkowej jest najpewniejszą kontrolą algebraiczną.