Wielomian jednej zmiennej to suma składników zbudowanych z liczb i nieujemnych całkowitych potęg tej zmiennej. Przykładem jest \(2x^3-5x+4\). Poznanie jego budowy pozwala odczytać stopień, obliczać wartości i sprawdzać, czy wskazana liczba jest jego pierwiastkiem.
1. Jak rozpoznać wielomian?
Litera x oznacza zmienną, czyli liczbę, którą możemy podstawiać. Dopuszczalne potęgi to zero, jeden, dwa, trzy i kolejne liczby całkowite. Zapis \(x^3\) oznacza \(x\cdot x\cdot x\), a składnik bez x jest stałą, na przykład cztery.
Wielomianem jest \(x^2+3x-7\), ale także samo \(5x\) lub sama liczba siedem. Współczynniki mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi, więc \(\sqrt2x^2+x\) też jest wielomianem. Pierwiastek jest tu częścią stałego współczynnika, a nie dotyczy zmiennej.
Wyrażenie \(\frac1x+2\) nie jest wielomianem zmiennej x, bo \(\frac1x=x^{-1}\) ma ujemny wykładnik. Także \(\sqrt x+1\) nie jest wielomianem, ponieważ pierwiastek ze zmiennej odpowiada wykładnikowi jedna druga. O rozpoznaniu decyduje sposób występowania zmiennej po dozwolonym uproszczeniu i zachowaniu jej dziedziny.
2. Współczynnik, wyraz wolny i zapis W(x)
Nazwę wielomianu można zapisać literą W: \(W(x)=2x^3-5x+4\). Nawias informuje, od jakiej zmiennej zależy wartość. Nie jest to mnożenie W przez x. Zapis \(W(2)\) oznacza, że w całym wzorze zastępujemy x liczbą dwa.
Współczynnik przy \(x^3\) wynosi dwa, a przy x minus pięć. Wyraz wolny to cztery, bo nie zawiera zmiennej. Brakuje składnika z \(x^2\), co oznacza współczynnik zero: można zapisać \(2x^3+0x^2-5x+4\).
Uporządkowany zapis zwykle podaje potęgi malejąco. Wyrażenie \(4-5x+2x^3\) jest tym samym wielomianem. Przy przestawianiu zabieramy znaki wraz ze składnikami. W samym \(-x\) współczynnik to minus jeden, nie zero.
3. Stopień wielomianu
Stopień niezerowego wielomianu jest największym wykładnikiem zmiennej przy niezerowym współczynniku po redukcji wyrazów podobnych. Dla \(2x^3-5x+4\) wynosi trzy. Nie liczymy składników i nie dodajemy ich wykładników.
Przykład wymagający uproszczenia: \(3x^4+2x^2-3x^4+x\). Składniki czwartego stopnia się znoszą, więc zostaje \(2x^2+x\). Stopień wynosi dwa, mimo że w początkowym zapisie widniała czwarta potęga.
To ogólny zapis niezerowego wielomianu. Liczba n jest nieujemną liczbą całkowitą i oznacza stopień, a symbole a z indeksami to współczynniki. Współczynnik przy najwyższej potędze nazywamy wiodącym, a \(a_0\) wyrazem wolnym.
Niezerowa stała, na przykład siedem, ma stopień zero. Wielomian zerowy, w którym wszystkie współczynniki są zerowe, traktujemy osobno: w przyjętej szkolnej konwencji nie przypisujemy mu stopnia. Nie uznajemy więc stopnia zera za zero tylko dlatego, że oba słowa brzmią podobnie.
4. Podstawianie liczby krok po kroku
Dla \(W(x)=2x^3-5x+4\) oblicz \(W(-1)\). Każde wystąpienie x zastępujemy minus jedynką. Ujemną liczbę umieszczamy w nawiasie, szczególnie przy potędze.
- Podstaw minus jeden we wszystkich miejscach zmiennej.\(W(-1)=2(-1)^3-5(-1)+4\)
- Oblicz potęgę. Trzy ujemne czynniki dają wynik ujemny.\((-1)^3=-1\)
- Oblicz oba mnożenia z uwzględnieniem znaków.\(W(-1)=-2+5+4\)
- Dodaj otrzymane liczby.\(W(-1)=7\)
Stopień wielomianu nadal wynosi trzy. Podstawienie liczby daje konkretną wartość siedem, a nie zmienia budowy wzoru. Dla \(W(0)\) wszystkie składniki z dodatnimi potęgami x znikają, więc \(W(0)=4\). To szybki sposób odczytania wyrazu wolnego.
5. Pierwiastek wielomianu i równość wielomianów
Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu, jeśli \(W(r)=0\). Nie chodzi tutaj o znak pierwiastka kwadratowego. To nazwa liczby, po której podstawieniu wartość całego wielomianu znika.
Dla \(P(x)=x^2-3x+2\) sprawdzamy jedynkę: \(P(1)=1-3+2=0\), więc jest pierwiastkiem. Dwójka również: \(P(2)=4-6+2=0\). Trójka nie jest pierwiastkiem, bo \(P(3)=9-9+2=2\). Sprawdzenie wskazanej liczby nie jest jeszcze znalezieniem wszystkich pierwiastków.
Dwa wielomiany są równe, gdy po uporządkowaniu mają jednakowe współczynniki przy każdej potędze. Na przykład \(2x^2+x+x+1=2x^2+2x+1\). Równość wartości dla jednego argumentu nie wystarcza: wielomiany x i \(x^2\) oba przyjmują wartość jeden dla \(x=1\), ale dla \(x=2\) ich wartości są różne.
6. Typowe pomyłki i kontrola budowy
Najpierw zredukuj wyrazy podobne, potem odczytaj stopień i współczynnik wiodący. Przy wartości wielomianu podstaw liczbę w każde miejsce zmiennej i zachowaj nawiasy. Przy pytaniu o pierwiastek sprawdź, czy wynik jest dokładnie zerem. Powinieneś też umieć wyjaśnić, dlaczego stały współczynnik z pierwiastkiem jest dozwolony, a pierwiastek obejmujący zmienną już nie.