Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias polega na znalezieniu części powtarzającej się w każdym składniku i zapisaniu jej tylko raz. Na przykład \(6x+12=6(x+2)\), bo oba składniki zawierają czynnik sześć. Wartość wyrażenia pozostaje taka sama.
1. Co jest wspólne w składnikach?
W wyrażeniu \(6x+12\) pierwszy składnik to \(6\cdot x\), a drugi to \(6\cdot2\). Szóstka występuje w obu iloczynach, więc można zapisać \(6(x+2)\). Nawias zawiera pozostałe części: x oraz dwa.
Składniki są połączone dodawaniem lub odejmowaniem, a czynniki mnożeniem. Wyłączamy więc wspólny czynnik składników. Nie chodzi o wykreślenie powtarzającego się znaku czy litery: po ponownym wymnożeniu musimy odzyskać całe wyrażenie.
To ta sama rozdzielność mnożenia, dzięki której rozwijamy nawiasy, tylko użyta w przeciwną stronę. Czynnik c pozostaje na zewnątrz, a nawias zbiera to, co trzeba przez niego pomnożyć.
2. Część liczbowa i najmniejsze potęgi
Dla współczynników dwanaście i osiemnaście największym wspólnym dodatnim dzielnikiem jest sześć. Większa liczba nie dzieli obu bez reszty. W części literowej \(x^3=x\cdot x\cdot x\), a \(x^2=x\cdot x\). W obu występują co najmniej dwie litery x, więc wspólną częścią jest \(x^2\), nie \(x^3\).
Z \(12x^3-18x^2\) możemy zatem wyłączyć \(6x^2\). Przy \(12x^3y+18x^2y^2\) wspólne są dodatkowo pojedyncze y. Największy wspólny jednomian z dodatnim współczynnikiem całkowitym to \(6x^2y\). Wykładnik każdej litery dobieramy osobno, wybierając najmniejszy obecny we wszystkich składnikach.
Jeśli litera nie występuje w którymś składniku, nie wyłączamy jej jako czynnika całej sumy. W \(6x+12\) nie wyłączymy x bez wprowadzania ułamka \(12/x\), więc w zwykłym rozkładzie wielomianowym wybieramy samą szóstkę. Brak litery odpowiada wykładnikowi zero.
3. Jak wyznaczyć zawartość nawiasu?
Rozważ ponownie \(12x^3-18x^2\). Szukamy takiego nawiasu, aby po pomnożeniu przez \(6x^2\) wróciły oba składniki wraz ze znakami.
- Pierwszy składnik zawiera sześć x do kwadratu pomnożone przez dwa x.\(12x^3=6x^2\cdot2x\)
- Drugi składnik zawiera ten sam czynnik pomnożony przez minus trzy.\(-18x^2=6x^2\cdot(-3)\)
- Zapisz wspólny czynnik i sumę pozostałych części.\(12x^3-18x^2=6x^2(2x-3)\)
- Sprawdź oba iloczyny oddzielnie.\(6x^2\cdot2x-6x^2\cdot3=12x^3-18x^2\)
Można myśleć o dzieleniu każdego składnika przez wybrany czynnik, ale formalne dzielenie przez \(6x^2\) wymaga \(x\ne0\). Sama otrzymana tożsamość jest poprawna także dla zera, co widać po wymnożeniu. Wyłączanie czynnika nie usuwa więc automatycznie zera z dopuszczalnych wartości x.
4. Jedynka, minus i więcej niż dwa składniki
W \(5x^2+5x\) wyłączamy \(5x\). Pierwszy składnik zostawia x, a drugi jeden, bo \(5x\cdot1=5x\). Wynik to \(5x(x+1)\). Wpisanie zera spowodowałoby zniknięcie drugiego składnika.
Czasami wygodniej wyłączyć ujemny czynnik: \(-6x^2+9x=-3x(2x-3)\). Sprawdź znaki: minus trzy x razy dwa x daje minus sześć x do kwadratu, a minus trzy x razy minus trzy daje plus dziewięć x. Zapis \(3x(-2x+3)\) też jest poprawny.
Dla trzech składników reguła się nie zmienia: \(8x^3+12x^2-4x=4x(2x^2+3x-1)\). Wspólny czynnik musi występować we wszystkich trzech składnikach, a w nawiasie musi zostać po jednej odpowiedniej części dla każdego z nich.
5. Dwie litery i wspólny nawias
W \(12x^3y+18x^2y^2\) wybieramy \(6x^2y\). Pierwsza pozostała część to \(2x\), a druga \(3y\), więc otrzymujemy \(6x^2y(2x+3y)\). Sprawdzenie polega na pomnożeniu wspólnego czynnika przez oba składniki nawiasu.
Wspólnym czynnikiem może być również całe wyrażenie: \(3(x+2)+y(x+2)\). Oba składniki zawierają identyczny nawias \(x+2\), dlatego \(3(x+2)+y(x+2)=(x+2)(3+y)\). Nawias traktujemy w tym kroku jak jedną wspólną całość.
Można wyłączyć mniejszy czynnik niż największy: \(8a^2+12a=4(2a^2+3a)\). Ten zapis jest poprawny, lecz w środku pozostało wspólne a. Jeśli polecenie wymaga największego wspólnego czynnika, kończymy dopiero na \(4a(2a+3)\). Uważnie odróżniaj „poprawny rozkład” od „wyłączenia największego wspólnego czynnika”.
6. Sprawdzenie przez mnożenie
Po wyłączeniu policz liczbę składników w nawiasie i sprawdź każdy z nich przez mnożenie. Zwróć uwagę na jedynkę, jeśli cały składnik był wspólnym czynnikiem, i na zmianę wszystkich znaków, jeśli wyłączasz minus. Nie dziel całego równania przez czynnik z literą bez sprawdzenia, czy nie tracisz przypadku, gdy ten czynnik jest zerem.