Walec obrotowy ma dwie kołowe podstawy i powierzchnię boczną, która po rozwinięciu jest prostokątem. Objętość opisuje jego wnętrze, a pole całkowite cały zewnętrzny brzeg.
Pojęcia, od których zaczynamy
Promień \(r\) mierzymy od środka podstawy do jej okręgu. Wysokość \(H\) jest odległością między podstawami i biegnie prostopadle do nich. Średnica podstawy wynosi \(2r\). Jeśli podano szerokość walca w przekroju przez oś, zwykle jest to średnica, a nie promień.
Rozetnij powierzchnię boczną pionowo i rozwiń ją na płasko. Jeden bok prostokąta ma wysokość \(H\), drugi musi obejść całą podstawę, więc ma długość \(2\pi r\). Stąd pole boczne \(P_b=2\pi rH\). Do pola całkowitego dokładamy dwa koła, każde o polu \(\pi r^2\).
Zasady i wzory
Walec powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego boku. Ma dwie kołowe podstawy, a po rozwinięciu jego powierzchnia boczna jest prostokątem.
- Jeden bok prostokąta rozwinięcia ma długość \(2\pi r\).
- Pole całkowite obejmuje dwie podstawy.
- Objętość to pole koła razy wysokość.
Pierwszy składnik pola to dwie podstawy, drugi — powierzchnia boczna.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku walca zaznaczono promień jednej podstawy i pionową wysokość. Obok pokazano prostokąt rozwinięcia boku. Jego szerokość to obwód koła, nie średnica. Koła podstaw liczymy oddzielnie; nie są częściami tego prostokąta.
Przykład krok po kroku
Walec ma promień 3 i wysokość 5. Oblicz objętość i pole całkowite.
Wybierz wzór zgodny z pytaniem. Objętość opisuje wnętrze walca i wymaga pola podstawy razy wysokość. Pole całkowite opisuje jego powierzchnię: dwie kołowe podstawy oraz prostokąt powstający po rozwinięciu boku. Zapisz te trzy części osobno, zanim je dodasz.
- Oblicz objętość.\(V=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi\)
- Oblicz pola podstaw.\(2\pi r^2=18\pi\)
- Dodaj pole boczne.\(P_c=18\pi+2\pi\cdot3\cdot5=48\pi\)
Typowy błąd
We wzorze na objętość promień jest podniesiony do kwadratu.
Dodatkowy przykład i kontrola
Przekrój osiowy, czyli cięcie płaszczyzną zawierającą oś walca, jest prostokątem o bokach \(2r\) i \(H\). Dla \(r=3\), \(H=5\) jego pole wynosi \(6\cdot5=30\). To pole przekroju, nie powierzchni bocznej ani objętość.
Dla naczynia bez pokrywki materiał obejmuje jedną podstawę i bok: \(\pi r^2+2\pi rH\). Jeśli szukasz pojemności, użyj wymiarów wnętrza i wzoru na objętość. Pamiętaj, że \(1\text{ dm}^3=1\text{ l}\). Wynik z \(\pi\) można pozostawić dokładny, o ile zadanie nie żąda przybliżenia.