Ostrosłup prawidłowy ma foremną podstawę i wierzchołek leżący prostopadle nad jej środkiem. Dzięki temu ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Pojęcia, od których zaczynamy
Najpierw rozróżnij trzy odcinki wychodzące ze szczytu. Wysokość bryły \(H\) kończy się w środku podstawy. Apotema ostrosłupa \(l\) jest wysokością ściany bocznej i kończy się w środku boku podstawy. Krawędź boczna \(e\) biegnie do wierzchołka podstawy. Mają inne długości i występują w innych wzorach.
W samej podstawie potrzebne bywają dwa promienie: \(r\) do środka boku, prostopadle do niego, oraz \(R\) do wierzchołka. Dla kwadratu o boku \(a\) wynoszą one \(r=\frac a2\) i \(R=\frac{a\sqrt2}{2}\). Nie zamieniaj ich przy wybieraniu pomocniczego trójkąta.
Zasady i wzory
W ostrosłupie prawidłowym podstawa jest wielokątem foremnym, a rzut wierzchołka pada w jej środku. Wszystkie krawędzie boczne są równe.
- Apotema ostrosłupa jest wysokością ściany bocznej.
- Wysokość bryły, apotema podstawy i apotema ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny.
- Krawędź boczna wykorzystuje odległość środka podstawy od wierzchołka podstawy.
\(l\) jest wysokością ściany bocznej, \(e\) krawędzią boczną, a \(H\) wysokością bryły. W podstawie \(r\) oznacza promień okręgu wpisanego, \(R\) promień okręgu opisanego, \(O_p\) obwód, a \(P_p\) pole. Wzór na \(P_b\) sumuje pola trójkątnych ścian o wspólnej wysokości \(l\).
Jak czytać rysunek?
Rysunek pokazuje dwa trójkąty prostokątne: \(SOM\) z apotemą \(SM=l\) oraz \(SOA\) z krawędzią \(SA=e\). Punkt \(M\) jest środkiem boku, \(O\) środkiem podstawy. W pierwszym trójkącie pozioma przyprostokątna to \(r\), w drugim \(R\). Wspólna pionowa przyprostokątna to \(H\).
Przykład krok po kroku
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma bok podstawy 10 i wysokość 12. Oblicz apotemę.
Trzy różne odcinki. Wysokość bryły biegnie do środka podstawy, wysokość ściany bocznej — do środka boku podstawy, a krawędź boczna — do jej wierzchołka. Apotema ostrosłupa to właśnie wysokość ściany bocznej. Szukając jej, używamy połowy boku kwadratu, a nie połowy przekątnej.
- Apotema kwadratowej podstawy to połowa boku.\(r=5\)
- Zastosuj Pitagorasa.\(l^2=12^2+5^2=169\)
- Oblicz długość.\(l=13\)
Dla tego ostrosłupa \(P_p=10^2=100\) i \(O_p=4\cdot10=40\). Stąd \(P_b=\frac12\cdot40\cdot13=260\), a \(P_c=100+260=360\). Krawędź boczna jest dłuższa od apotemy: \(e=\sqrt{12^2+(5\sqrt2)^2}=\sqrt{194}\).
Typowy błąd
Apotema ściany nie korzysta z połowy przekątnej podstawy.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla kwadratowej podstawy \(a=6\) i wysokości \(H=4\) mamy \(r=3\), więc \(l=\sqrt{4^2+3^2}=5\). Pole boczne to suma czterech trójkątów: \(4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=60\). Pole całkowite wynosi \(36+60=96\), a objętość \(\frac13\cdot36\cdot4=48\).
Kąt ściany bocznej z podstawą odczytujemy w trójkącie \(SOM\), więc jego tangens wynosi \(\frac Hr\). Kąt krawędzi bocznej z podstawą odczytujemy w \(SOA\), a jego tangens wynosi \(\frac HR\). To różne kąty. Prawidłowość nie oznacza, że wszystkie krawędzie bryły są równe.