Ostrosłup ma jedną wielokątną podstawę i trójkątne ściany boczne spotykające się w jednym wierzchołku poza płaszczyzną podstawy. Jego objętość wynosi \(\frac13P_pH\).
Pojęcia, od których zaczynamy
Wysokość \(H\) prowadzimy od wierzchołka prostopadle do płaszczyzny podstawy. Jej koniec nazywamy spodkiem wysokości. Nie musi on znajdować się w środku podstawy, a w niektórych ostrosłupach leży nawet poza nią. Nie zakładaj symetrii, jeśli nie podano prawidłowości lub innych uzasadniających ją danych.
Krawędź boczna łączy szczyt z wierzchołkiem podstawy. Wysokość ściany bocznej jest wysokością trójkąta będącego tą ścianą. Oba te odcinki mogą być ukośne względem podstawy. Do objętości potrzebujemy wysokości całej bryły, nie długości ściany ani krawędzi.
Zasady i wzory
Ostrosłup ma jedną podstawę wielokątną, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Wysokość jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
- Wysokość nie musi pokrywać się z krawędzią boczną.
- Objętość jest trzy razy mniejsza niż w graniastosłupie o tej samej podstawie i wysokości.
- Pole boczne liczymy jako sumę pól trójkątów.
Czynnik \(\frac{1}{3}\) odróżnia ostrosłup od graniastosłupa.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku odcinek \(SO\) jest wysokością, ponieważ jest prostopadły do podstawy. Odcinek \(SA\) jest krawędzią boczną. W trójkącie \(SOA\) można użyć Pitagorasa, jeśli znamy \(SA\) oraz położenie spodka \(O\). Dopiero po znalezieniu \(SO\) podstawiamy wysokość do wzoru na objętość.
Przykład krok po kroku
Pole podstawy ostrosłupa wynosi 24, a wysokość 9. Oblicz objętość.
- Zapisz wzór.\(V=\frac13P_pH\)
- Podstaw dane.\(V=\frac13\cdot24\cdot9\)
- Oblicz.\(V=72\)
Typowy błąd
Krawędź boczna zwykle nie jest wysokością ostrosłupa.
Dodatkowy przykład i kontrola
Jeśli podstawa ma pole \(18\), a objętość \(30\), to \(30=\frac13\cdot18\cdot H=6H\), więc \(H=5\). W zadaniu odwrotnym mnożymy objętość przez trzy i dzielimy przez pole podstawy: \(H=\frac{3V}{P_p}\).
Pole całkowite wynosi \(P_c=P_p+P_b\), gdzie \(P_b\) jest sumą pól trójkątnych ścian. Ich wysokości nie muszą być równe w dowolnym ostrosłupie. Dla n-kątnej podstawy bryła ma \(n+1\) wierzchołków, \(2n\) krawędzi i \(n+1\) ścian. Ostrosłup trójkątny ma zatem cztery ściany i jest czworościanem, lecz nie musi być foremny.