Prostopadłościan ma sześć prostokątnych ścian i trzy wymiary: długość, szerokość oraz wysokość. Sześcian jest prostopadłościanem, w którym wszystkie te wymiary są równe.
Pojęcia, od których zaczynamy
Krawędź łączy dwa sąsiednie wierzchołki. Przekątna ściany łączy przeciwległe wierzchołki jednej prostokątnej ściany. Przekątna bryły łączy wierzchołki, które nie leżą na wspólnej ścianie, i biegnie przez wnętrze. To trzy różne rodzaje odcinków.
Aby obliczyć przekątną przestrzenną, najpierw wyznacz przekątną podstawy: \(d_p^2=a^2+b^2\). Następnie użyj drugiego trójkąta prostokątnego z wysokością \(c\): \(d^2=d_p^2+c^2\). Po połączeniu dostajesz \(d^2=a^2+b^2+c^2\). Ten tok wyjaśnia, skąd we wzorze trzy kwadraty.
Zasady i wzory
Prostopadłościan ma sześć prostokątnych ścian, a sześcian jest jego szczególnym przypadkiem z wszystkimi krawędziami równymi.
- Przekątna ściany wynika z twierdzenia Pitagorasa w prostokącie.
- Przekątna bryły korzysta z trzech wymiarów.
- Pole całkowite to suma pól sześciu ścian.
Dla sześcianu \(a=b=c\), więc \(d=a\sqrt3\).
Jak czytać rysunek?
Na rysunku krótszy wyróżniony odcinek leży w podstawie, a dłuższy biegnie do przeciwległego górnego wierzchołka. Dla podstawy \(3\) na \(4\) pierwsza przekątna ma \(5\). Z wysokością \(12\) tworzy trójkąt o przeciwprostokątnej \(13\). Nie dodajemy długości \(5\) i \(12\).
Przykład krok po kroku
Oblicz przekątną prostopadłościanu o wymiarach 3, 4 i 12.
- Zapisz wzór.\(d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}\)
- Dodaj kwadraty.\(d=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}\)
- Oblicz.\(d=13\)
Typowy błąd
Przekątna bryły nie jest sumą trzech krawędzi.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla sześcianu o boku \(a\) otrzymujemy \(V=a^3\), \(P_c=6a^2\), przekątną ściany \(a\sqrt2\) i przekątną bryły \(a\sqrt3\). Przy \(a=2\) objętość wynosi \(8\), pole \(24\), a przekątne odpowiednio \(2\sqrt2\) i \(2\sqrt3\).
Prostopadłościan ma po dwie ściany o polach \(ab\), \(ac\), \(bc\), dlatego pole całkowite zawiera współczynnik \(2\). Przed obliczeniami sprowadź wszystkie krawędzie do tej samej jednostki. Długość, pole i objętość mają odpowiednio jednostkę liniową, kwadratową i sześcienną.