Graniastosłup prawidłowy jest graniastosłupem prostym o podstawie będącej wielokątem foremnym. Sama foremna podstawa nie wystarcza: krawędzie boczne muszą być prostopadłe do podstaw.
Pojęcia, od których zaczynamy
Wielokąt foremny ma równe boki i równe kąty. Nazwa „prawidłowy trójkątny” wskazuje więc trójkąt równoboczny, „prawidłowy czworokątny” kwadrat, a „prawidłowy sześciokątny” sześciokąt foremny. To nazwa podstawy, nie liczba wszystkich ścian bryły.
Wysokość \(H\) jest równa każdej krawędzi bocznej. Wszystkie prostokątne ściany boczne mają wspólne wymiary: bok podstawy \(a\) i wysokość \(H\). Nie muszą być kwadratami, ponieważ \(H\) nie musi równać się \(a\). Prawidłowy czworokątny nie zawsze jest sześcianem.
Zasady i wzory
Graniastosłup prawidłowy jest prosty, a jego podstawą jest wielokąt foremny. Symetria ułatwia obliczanie pól, przekątnych i kątów.
- Podstawa musi być foremna.
- Krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.
- Wysokość jest równa długości krawędzi bocznej.
Pole boczne jest sumą jednakowych prostokątów.
Jak czytać rysunek?
Rysunek pokazuje graniastosłup z kwadratową podstawą. Długość \(a\) mierzy bok kwadratu, a \(H\) pionową krawędź. Pole podstawy to \(a^2\), obwód \(4a\). Obliczamy je przed podstawieniem do wzorów na objętość i pole boczne.
Przykład krok po kroku
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 4 i wysokość 7. Oblicz objętość.
Co wnosi słowo „prawidłowy”? Graniastosłup jest prosty, a jego podstawa jest wielokątem foremnym. „Prawidłowy czworokątny” oznacza więc kwadratową podstawę. Dopiero po wyznaczeniu jej pola mnożymy je przez wysokość bryły; długość boku nie jest polem podstawy.
- Oblicz pole kwadratowej podstawy.\(P_p=4^2=16\)
- Pomnóż przez wysokość.\(V=16\cdot7\)
- Podaj wynik.\(V=112\)
Typowy błąd
W podstawie nie zawsze znajduje się kwadrat — zależy to od nazwy graniastosłupa.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla podstawy równobocznej \(P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}\), a dla sześciokąta foremnego \(P_p=\frac{3a^2\sqrt3}{2}\). Drugi wzór wynika z podziału sześciokąta na sześć trójkątów równobocznych. W obu przypadkach \(V=P_pH\) oraz \(P_b=naH\).
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o \(a=4\), \(H=7\) pole boczne wynosi \(4\cdot4\cdot7=112\), a całkowite \(2\cdot16+112=144\). Przekątna bryły ma długość \(\sqrt{2a^2+H^2}=\sqrt{81}=9\). Liczba \(112\) w polu bocznym i objętości tego przykładu jest taka sama przypadkowo; jednostki są różne.