Graniastosłup ma dwie przystające podstawy w równoległych płaszczyznach, a jego ściany boczne są równoległobokami. Objętość wynosi pole podstawy razy wysokość bryły.
Pojęcia, od których zaczynamy
Podstawy nie muszą być narysowane na dole i na górze kartki. Rozpoznajemy je po jednakowym kształcie i równoległości. Wysokość jest prostopadłą odległością między płaszczyznami podstaw. Krawędź boczna łączy odpowiadające wierzchołki podstaw, więc przy pochyleniu bryły może być dłuższa od wysokości.
W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw i mają długość wysokości. Wtedy każda ściana boczna jest prostokątem. W graniastosłupie pochyłym ta własność nie zachodzi. Wzór na objętość działa w obu przypadkach, ale prosty wzór na pole boczne wymaga graniastosłupa prostego.
Zasady i wzory
Graniastosłup ma dwie przystające i równoległe podstawy. W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a ściany boczne są prostokątami.
- Wysokość jest odległością między płaszczyznami podstaw.
- Objętość to pole podstawy razy wysokość.
- Pole całkowite obejmuje dwie podstawy i wszystkie ściany boczne.
\(P_p\) oznacza pole jednej podstawy, \(P_b\) sumę pól ścian bocznych, \(H\) prostopadłą odległość podstaw. Tylko dla graniastosłupa prostego można bezpośrednio użyć \(P_b=O_pH\), gdzie \(O_p\) jest obwodem podstawy.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku wyróżniono dwie podstawy i wysokość \(H\). Pole jednej podstawy oznaczamy \(P_p\), a jej obwód \(O_p\). Są to różne wielkości: pole opisuje powierzchnię, obwód długość brzegu. Objętość powstaje z \(P_pH\), a pole boczne prostego graniastosłupa z \(O_pH\).
Przykład krok po kroku
Podstawa graniastosłupa ma pole 12, a wysokość wynosi 5. Oblicz objętość.
- Zapisz wzór.\(V=P_pH\)
- Podstaw dane.\(V=12\cdot5\)
- Oblicz.\(V=60\)
Typowy błąd
Nie dzielimy objętości graniastosłupa przez 3.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla prostego graniastosłupa o prostokątnej podstawie \(3\) na \(4\) i wysokości \(5\) mamy \(P_p=12\), \(O_p=14\). Objętość wynosi \(60\), pole boczne \(70\), a całkowite \(2\cdot12+70=94\). Każdy z trzech wyników odpowiada innemu pytaniu.
Graniastosłup o podstawie n-kątnej ma \(2n\) wierzchołków, \(3n\) krawędzi i \(n+2\) ścian. Dla podstawy trójkątnej daje to \(6\), \(9\), \(5\). Do pola całkowitego zawsze doliczamy dwie podstawy; jeżeli zadanie opisuje otwarte pudełko, obliczamy powierzchnię wskazaną w treści, a nie automatycznie całą bryłę.