Kąt w bryle obliczamy po wskazaniu odpowiednich prostych lub przekroju. Kąt prostej z płaszczyzną jest kątem między tą prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę, jeśli prosta nie jest do niej prostopadła.
Pojęcia, od których zaczynamy
Rzut prostopadły punktu na płaszczyznę otrzymujemy, opuszczając do niej odcinek prostopadły. Rzut odcinka powstaje przez połączenie rzutów jego końców. Jeśli jeden koniec leży już w płaszczyźnie, pozostaje na miejscu. W ten sposób znajdujemy drugie ramię szukanego kąta.
W prostopadłościanie przekątna przestrzenna, jej rzut na podstawę i pionowa krawędź tworzą trójkąt prostokątny. Narysuj ten trójkąt osobno. Nazwij jego boki i zaznacz szukany kąt. Dopiero wtedy wybierz sinus, cosinus lub tangens, zgodnie z tym, które długości są znane.
Zasady i wzory
Dla prostej nieprostopadłej do płaszczyzny kąt z płaszczyzną jest mniejszym kątem między prostą a jej rzutem prostokątnym. Gdy prosta jest prostopadła do płaszczyzny, jej rzut jest punktem, a kąt wynosi \(90^\circ\). Dla prostej równoległej do płaszczyzny lub w niej zawartej wynosi \(0^\circ\). Kąt dwuścienny mierzymy w przekroju prostopadłym do krawędzi przecięcia płaszczyzn.
- Najpierw wskaż rzut odcinka na płaszczyznę.
- Kąt prostej z płaszczyzną należy do przedziału od \(0^\circ\) do \(90^\circ\).
- Nie każdy widoczny na szkicu kąt jest szukanym kątem przestrzennym.
d jest odcinkiem przestrzennym, p jego rzutem, a h składową prostopadłą.
Jak czytać rysunek?
Przekątna sześcianu \(AG\) rzutuje się na przekątną podstawy \(AC\). Trójkąt \(ACG\) ma kąt prosty w \(C\). Szukany kąt jest przy \(A\), między \(AG\) i \(AC\), a nie między \(AG\) i krawędzią \(AB\). Jego przeciwległa przyprostokątna to wysokość \(CG\).
Przykład krok po kroku
W sześcianie o krawędzi a oblicz sinus kąta przekątnej bryły z podstawą.
Wyodrębnij trójkąt przed wyborem funkcji. Jego bokami są przekątna bryły, przekątna podstawy i pionowa krawędź sześcianu. Kąt prosty leży między pionową krawędzią a podstawą. Względem szukanego kąta naprzeciw leży wysokość \(a\), a przeciwprostokątną jest przekątna \(a\sqrt3\), więc wybieramy sinus.
- Wyznacz przekątną bryły.\(d=a\sqrt3\)
- Wysokość bryły wynosi a.\(h=a\)
- Oblicz sinus.\(\sin\alpha=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
Typowy błąd
Kąt z płaszczyzną nie jest kątem z dowolną krawędzią podstawy.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla sześcianu o boku \(a\) mamy \(AC=a\sqrt2\), \(CG=a\), \(AG=a\sqrt3\). Stąd \(\tan\alpha=\frac1{\sqrt2}\) oraz \(\sin\alpha=\frac1{\sqrt3}\). Kąt ma około \(35{,}3^\circ\); dokładna wartość funkcji często wystarcza jako odpowiedź. Nie zakładamy kąta \(45^\circ\) tylko dlatego, że bryła jest sześcianem.
Kąt między ścianami mierzymy w przekroju prostopadłym do ich wspólnej krawędzi. Wybieramy po jednej półprostej w każdej ścianie, obie prostopadłe do tej krawędzi w tym samym punkcie. To kąt liniowy kąta dwuściennego. W ostrosłupie prawidłowym do kąta ściany bocznej z podstawą używamy wysokości ściany, a nie krawędzi bocznej.
Prosta równoległa do płaszczyzny tworzy z nią kąt \(0^\circ\). Prosta prostopadła tworzy kąt \(90^\circ\); jej rzut jest wtedy punktem, więc nie budujemy kąta z prostą będącą rzutem. Kąt między płaszczyznami przyjmujemy z przedziału od \(0^\circ\) do \(90^\circ\).