W przestrzeni dwie proste mogą się przecinać, być równoległe albo skośne. Proste skośne nie przecinają się i nie można umieścić ich w jednej płaszczyźnie.
Pojęcia, od których zaczynamy
Płaszczyznę wyobrażamy sobie jako płaską powierzchnię rozciągającą się bez końca. Ściana bryły jest tylko jej ograniczonym fragmentem. Podobnie krawędź jest odcinkiem leżącym na nieskończonej prostej. Analizując wzajemne położenie, uwzględniamy te przedłużenia, nie tylko narysowane fragmenty.
Na płaszczyźnie różne nieprzecinające się proste są równoległe. W przestrzeni istnieje dodatkowa możliwość: jedna biegnie „wyżej” i w innym kierunku, tak że nie spotka drugiej. To proste skośne. Przecięcie ich obrazów na płaskim rysunku nie musi oznaczać przecięcia w przestrzeni.
Zasady i wzory
W przestrzeni proste mogą być przecinające się, równoległe albo skośne. Prosta i płaszczyzna mogą się przecinać, być równoległe lub prosta może leżeć w płaszczyźnie.
- Proste skośne nie przecinają się i nie leżą w jednej płaszczyźnie.
- Prosta prostopadła do płaszczyzny jest prostopadła do każdej prostej tej płaszczyzny przechodzącej przez punkt przebicia.
- Dwie różne płaszczyzny mogą być równoległe albo przecinać się w prostej.
\(\pi\) oznacza tu płaszczyznę, \(l,m\) proste, a \(P\) punkt przebicia płaszczyzny. Prosta prostopadła do płaszczyzny jest prostopadła do każdej prostej tej płaszczyzny przechodzącej przez punkt przebicia.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku prostopadłościanu dolna podstawa to \(ABCD\), a górna \(EFGH\); pionowe pary to \(A,E\), \(B,F\), \(C,G\), \(D,H\). Proste \(AB\) i \(EF\) są równoległe. Proste \(AB\) i \(BF\) przecinają się w \(B\). Proste \(AB\) i \(CG\) są skośne: mają różne kierunki i nie mają wspólnego punktu.
Przykład krok po kroku
W prostopadłościanie wskaż relację między dwiema przeciwległymi krawędziami pionowymi.
- Ustal kierunki krawędzi.Obie są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.
- Zastosuj własność prostych prostopadłych do tej samej płaszczyzny.\(k_1\parallel k_2\)
- Podaj relację.Krawędzie są równoległe.
Typowy błąd
Dwie proste bez punktu wspólnego mogą być skośne.
Dodatkowy przykład i kontrola
Prosta może leżeć w płaszczyźnie, przecinać ją w jednym punkcie albo być do niej równoległa i rozłączna. Dwie różne płaszczyzny są równoległe albo przecinają się w prostej. Nie przecinają się tylko w jednym punkcie.
Aby wykazać prostopadłość prostej do płaszczyzny, wystarczy wykazać jej prostopadłość do dwóch przecinających się prostych tej płaszczyzny, przechodzących przez punkt przebicia. Jedna taka prosta nie wystarcza. Nie utożsamiaj też braku przecięcia z prostopadłością: prostopadłość dotyczy kierunków tworzących kąt prosty.