Stożek obrotowy ma kołową podstawę i wierzchołek nad jej środkiem. Wysokość jest prostopadła do podstawy, a tworząca biegnie ukośnie od wierzchołka do brzegu podstawy.
Pojęcia, od których zaczynamy
Promień \(r\), wysokość \(H\) i tworząca \(l\) tworzą trójkąt prostokątny. Kąt prosty leży między promieniem i wysokością, dlatego tworząca jest przeciwprostokątną. Zapisujemy \(l^2=r^2+H^2\). Jeśli szukamy wysokości, odejmujemy: \(H=\sqrt{l^2-r^2}\).
Do objętości używamy wysokości, a do pola bocznego tworzącej. To podstawowy wybór w zadaniu o stożku. Pole całkowite zawiera tylko jedną kołową podstawę. Nie dopisujemy drugiej, jak w walcu, i nie zastępujemy tworzącej wysokością.
Zasady i wzory
Stożek ma kołową podstawę, wierzchołek oraz tworzącą l. W stożku prostym wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny.
- Tworząca nie jest wysokością.
- Pole boczne wynosi \(\pi rl\).
- Objętość zawiera czynnik \(\frac{1}{3}\).
l oznacza tworzącą stożka.
Jak czytać rysunek?
W przekroju osiowym stożka otrzymujemy trójkąt równoramienny o podstawie \(2r\) i ramionach \(l\). Wysokość dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Na rysunku wyróżniono jeden z nich: ma przyprostokątne \(r,H\), a nie \(2r,H\).
Przykład krok po kroku
Stożek ma promień 3 i wysokość 4. Oblicz tworzącą i objętość.
Tworząca jest przeciwprostokątną. Wysokość stożka jest prostopadła do podstawy, więc tworzy z promieniem trójkąt prostokątny. Najpierw obliczamy tworzącą z Pitagorasa. Do objętości używamy jednak wysokości \(H\), nie obliczonej tworzącej \(l\).
- Oblicz tworzącą.\(l=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
- Podstaw do objętości.\(V=\frac13\pi\cdot3^2\cdot4\)
- Uprość.\(V=12\pi\)
Typowy błąd
Do pola bocznego używamy tworzącej, a nie wysokości.
Dodatkowy przykład i kontrola
Powierzchnia boczna rozwija się w wycinek koła o promieniu \(l\). Jego łuk ma długość obwodu podstawy \(2\pi r\). Z tego wynika \(P_b=\pi rl\) oraz kąt rozwinięcia \(\alpha=360^\circ\frac rl\). Dla \(r=3\), \(H=4\), \(l=5\) kąt wynosi \(216^\circ\), a pole boczne \(15\pi\).
Całkowite pole tego stożka to \(9\pi+15\pi=24\pi\). Gdy dane są \(l=13\) i \(r=5\), wysokość wynosi \(\sqrt{169-25}=12\), a objętość \(\frac13\pi\cdot25\cdot12=100\pi\). Sprawdź, czy tworząca jest dłuższa od promienia; inaczej nie powstanie stożek o dodatniej wysokości.