Kula obejmuje wszystkie punkty przestrzeni oddalone od środka o nie więcej niż promień. Jej powierzchnię, złożoną z punktów w odległości dokładnie r od środka, nazywamy sferą.
Pojęcia, od których zaczynamy
Promień \(r\) prowadzi od środka do powierzchni. Średnica przechodzi przez środek między przeciwległymi punktami powierzchni i ma długość \(2r\). Kula nie ma podstaw, krawędzi ani wierzchołków. Nie próbujemy dzielić jej powierzchni na ściany jak w sześcianie.
Pole sfery opisuje powierzchnię zewnętrzną i ma jednostkę kwadratową. Objętość kuli opisuje zajętą przestrzeń i ma jednostkę sześcienną. W pierwszym wzorze występuje \(r^2\), w drugim \(r^3\). Podstawiaj promień, nawet jeśli w treści podano średnicę.
Zasady i wzory
Kula obejmuje wszystkie punkty oddalone od środka nie bardziej niż o \(r\), a sfera jest jej powierzchnią. Wzory zależą tylko od promienia.
- Pole sfery rośnie jak \(r^2\).
- Objętość kuli rośnie jak \(r^3\).
- Średnica ma długość \(2r\).
Pole ma jednostkę kwadratową, objętość — sześcienną.
Jak czytać rysunek?
Rysunek przedstawia przekrój kuli płaszczyzną. Gdy płaszczyzna przechodzi przez środek, przekrój jest kołem o promieniu \(r\). Przy przesunięciu płaszczyzny o odległość \(d\) promień przekroju \(\rho\) maleje. Powstaje trójkąt prostokątny, więc \(\rho^2+d^2=r^2\).
Przykład krok po kroku
Kula ma promień 3. Oblicz pole i objętość.
Pole i objętość to różne wielkości. Dla promienia \(3\) oba rachunki w przykładzie dają liczbę \(36\pi\), ale nie te same jednostki. Przy promieniu w centymetrach pole wynosi \(36\pi\text{ cm}^2\), a objętość \(36\pi\text{ cm}^3\). Taka zgodność liczb jest przypadkowa.
- Oblicz pole.\(P=4\pi\cdot3^2=36\pi\)
- Oblicz sześcian promienia.\(3^3=27\)
- Oblicz objętość.\(V=\frac43\pi\cdot27=36\pi\)
Typowy błąd
Jednakowy zapis liczbowy pola i objętości nie oznacza jednakowych wielkości.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla kuli o promieniu \(5\) i płaszczyzny oddalonej od środka o \(3\) promień przekroju wynosi \(\rho=\sqrt{25-9}=4\). Pole przekroju to \(16\pi\), a nie pole całej powierzchni kuli. Warunek \(d\lt r\) daje przekrój kołowy, \(d=r\) pojedynczy punkt styczności, a \(d\gt r\) brak przecięcia.
Podwojenie promienia zwiększa pole czterokrotnie, a objętość ośmiokrotnie. Zamknięta półkula ma połowę powierzchni sfery i dodatkowe koło cięcia: \(P=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2\). Sama zakrzywiona część półkuli ma pole \(2\pi r^2\). Czytaj, czy zadanie wymaga doliczenia płaskiej podstawy.