Pole powierzchni bryły jest sumą pól jej zewnętrznych części. Przed liczeniem ustalamy, czy chodzi o całą powierzchnię, sam bok, czy wybrane części, np. naczynie bez pokrywki.
Pojęcia, od których zaczynamy
Pole boczne pomija podstawy, a pole całkowite je uwzględnia. W graniastosłupie i walcu są dwie podstawy, w ostrosłupie i stożku jedna. Siatka wielościanu pokazuje wszystkie ściany na płasko i pomaga policzyć każdą dokładnie raz.
Wzór wybieramy dla konkretnej części: prostokąta, trójkąta, koła lub powierzchni bocznej bryły obrotowej. Najpierw wyznacz brakujące wysokości i promienie. Krawędź boczna ostrosłupa nie jest automatycznie wysokością trójkątnej ściany, a wysokość stożka nie jest jego tworzącą.
Zasady i wzory
Pole powierzchni bryły otrzymujemy przez zsumowanie pól wszystkich zewnętrznych części powierzchni. Siatka pomaga zauważyć, które elementy należy policzyć i ile razy występują.
- Pole całkowite obejmuje podstawy i powierzchnię boczną.
- W bryle otwartej pomijamy brakującą ścianę.
- Wynik zapisujemy w jednostkach kwadratowych.
Dla walca zamkniętego: \(P_c=2\pi r^2+2\pi rH\).
Jak czytać rysunek?
Siatka prostopadłościanu pokazuje po dwa prostokąty o polach \(ab\), \(ac\), \(bc\). Zsumowanie daje \(P_c=2ab+2ac+2bc\). W zamkniętym pudełku liczymy wszystkie sześć ścian. Usunięcie pokrywki oznacza odjęcie pola jednej konkretnej ściany, a nie podzielenie całego wyniku przez dwa.
Przykład krok po kroku
Oblicz pole zamkniętego walca o promieniu 2 i wysokości 6.
- Policz dwie podstawy.\(2\pi r^2=2\pi\cdot4=8\pi\)
- Policz powierzchnię boczną.\(2\pi rH=2\pi\cdot2\cdot6=24\pi\)
- Dodaj.\(P_c=32\pi\)
Typowy błąd
W polu całkowitym zamkniętego walca są dwie podstawy.
Dodatkowy przykład i kontrola
Pudełko bez pokrywki o podstawie \(4\) na \(3\) i wysokości \(2\) ma powierzchnię \(4\cdot3+2\cdot4\cdot2+2\cdot3\cdot2=40\). Zamknięte miałoby \(52\). W zadaniu o malowaniu trzeba jeszcze ustalić, czy malujemy zewnętrzną stronę, wewnętrzną, czy obie, zgodnie z treścią.
Po sklejeniu dwóch brył wspólna powierzchnia przestaje być zewnętrzna. Przy dodaniu pól obu brył trzeba odjąć pole styku dwa razy. Dwa sześciany o boku \(2\), sklejone całymi ścianami, mają pole \(2\cdot24-2\cdot4=40\). Jednostki pola przeliczamy kwadratowo: \(1\text{ m}^2=10000\text{ cm}^2\). Wyniku w jednostkach sześciennych nie można uznać za pole.