Objętość bryły określa, ile przestrzeni ona zajmuje. Obliczamy ją ze wzoru odpowiedniego dla jej kształtu, a wynik zapisujemy w jednostkach sześciennych.
Pojęcia, od których zaczynamy
Jednostkę objętości można wyobrazić sobie jako mały sześcian. Sześcian o krawędzi jednego centymetra ma objętość \(1\text{ cm}^3\). Pudełko o wymiarach \(3\), \(2\), \(4\) centymetry mieści w jednej warstwie \(3\cdot2=6\) takich kostek, a cztery warstwy dają \(24\) kostki. Stąd mnożenie trzech wymiarów.
Pole podstawy opisuje jedną warstwę, a wysokość mówi, jak daleko bryła rozciąga się prostopadle do podstawy. Nie podstawiaj długości boku w miejsce pola. Rozróżnij też objętość od pola powierzchni: pierwsza dotyczy wnętrza, drugie materiału potrzebnego na zewnętrzną powłokę.
Zasady i wzory
Objętość mierzy przestrzeń zajmowaną przez bryłę. Graniastosłupy i walce mają objętość pole podstawy razy wysokość, a ostrosłupy i stożki — jedną trzecią tej wartości.
- Wysokość jest prostopadłą odległością między podstawami lub od wierzchołka do podstawy.
- Jednostka objętości jest sześcienna.
- Przed użyciem wzoru oblicz pole podstawy.
Analogiczne pary tworzą walec i stożek.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku bryły mają jednakowe pola podstaw i jednakowe wysokości. W graniastosłupie wszystkie równoległe warstwy mają to samo pole. Ostrosłup zwęża się do wierzchołka i ma jedną trzecią objętości takiego graniastosłupa. Sam rysunek ilustruje zależność; współczynnik \(\frac13\) nie jest wynikiem dodania trzech ścian.
Przykład krok po kroku
Bryły mają tę samą podstawę o polu 15 i wysokość 8. Porównaj objętość graniastosłupa i ostrosłupa.
- Oblicz objętość graniastosłupa.\(V_g=15\cdot8=120\)
- Oblicz objętość ostrosłupa.\(V_o=\frac13\cdot15\cdot8=40\)
- Porównaj.\(V_g=3V_o\)
Typowy błąd
Czynnik \(\frac{1}{3}\) zależy od kształtu bryły, nie od rodzaju podstawy.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla walca \(V=\pi r^2H\), dla stożka \(V=\frac13\pi r^2H\), a dla kuli \(V=\frac43\pi r^3\). Najpierw rozpoznaj bryłę i oznacz promień oraz prostopadłą wysokość. Tworząca stożka nie jest wysokością.
Jednostki przeliczamy w trzech wymiarach: \(1\text{ dm}^3=1000\text{ cm}^3=1\text{ l}\), a \(1\text{ m}^3=1000\text{ l}\). Dla walca o objętości \(200\pi\) i promieniu \(5\) mamy \(H=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{200\pi}{25\pi}=8\). Przy bryle z otworem odejmujemy objętość usuniętej części. Można dodawać objętości części, których wnętrza się nie nakładają.