Przekątna graniastosłupa łączy dwa wierzchołki, które nie należą do jednej ściany. W graniastosłupie prostym obliczamy ją z wysokości i odpowiedniej przekątnej podstawy za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Pojęcia, od których zaczynamy
Krawędź jest bokiem ściany. Przekątna ściany łączy jej niesąsiednie wierzchołki i nadal leży na powierzchni bryły. Przekątna przestrzenna łączy wierzchołki nieleżące na wspólnej ścianie. Przed obliczeniami zaznacz jej końce, żeby nie policzyć innego odcinka.
Rzut prostopadły górnego końca na dolną podstawę uzyskujemy, schodząc wzdłuż krawędzi bocznej prostego graniastosłupa. Dolny koniec przekątnej pozostaje na miejscu. Rzutem całej przekątnej jest odcinek między tymi dwoma punktami podstawy. Razem z wysokością tworzy trójkąt prostokątny.
Zasady i wzory
Przekątna graniastosłupa łączy wierzchołki nienależące do jednej ściany. W graniastosłupie prostym tworzy trójkąt prostokątny z przekątną podstawy i wysokością.
- Najpierw policz przekątną podstawy.
- Następnie połącz ją z wysokością bryły.
- W prostopadłościanie można od razu użyć trzech wymiarów.
Wzór dotyczy graniastosłupa prostego. Odcinek \(d_p\) jest rzutem rozpatrywanej przekątnej bryły na podstawę, a \(H\) wysokością. W graniastosłupie pochyłym nie wolno automatycznie używać tego wzoru.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku \(AG\) jest przekątną bryły, \(AC\) jej rzutem na podstawę, a \(CG\) wysokością. Kąt prosty leży przy \(C\). Najpierw obliczamy \(AC\) w prostokątnej podstawie. Otrzymana długość staje się przyprostokątną w trójkącie \(ACG\), którego przeciwprostokątną jest \(AG\).
Przykład krok po kroku
Podstawa prostopadłościanu ma boki 6 i 8, a wysokość 24. Oblicz przekątną bryły.
Dwa trójkąty, dwa rachunki. W podstawie bokami prostokątnymi są krawędzie \(6\) i \(8\). Ich przeciwprostokątna \(10\) staje się przyprostokątną drugiego trójkąta, którego drugi bok prostokątny to wysokość \(24\). Dopiero jego przeciwprostokątna jest szukaną przekątną przestrzenną.
- Policz przekątną podstawy.\(d_p=\sqrt{6^2+8^2}=10\)
- Dodaj wysokość.\(d=\sqrt{10^2+24^2}\)
- Oblicz.\(d=\sqrt{676}=26\)
Typowy błąd
Nie dodajemy przekątnej podstawy i wysokości bezpośrednio.
Dodatkowy przykład i kontrola
W prostopadłościanie o krawędziach \(a,b,c\) dostajemy \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\). W sześcianie wszystkie trzy krawędzie są równe, więc przekątna bryły ma długość \(a\sqrt3\), a przekątna ściany \(a\sqrt2\). Dla \(a=4\) są to odpowiednio \(4\sqrt3\) i \(4\sqrt2\).
Można też szukać brakującej wysokości. Jeśli przekątna bryły ma \(13\), a jej rzut \(5\), to \(H^2=13^2-5^2=144\), zatem \(H=12\). Nie każdy graniastosłup ma przekątne przestrzenne: trójkątny nie ma żadnej. W podstawie sześciokątnej istnieją różne przekątne, więc trzeba wskazać, którą wykorzystujemy; przekątne całej bryły nie muszą mieć jednakowych długości.