Przekrój bryły jest jej częścią wspólną z płaszczyzną. Przy cięciu przez wnętrze otrzymujemy figurę płaską, której kształt i wymiary zależą od położenia tej płaszczyzny.
Pojęcia, od których zaczynamy
Wyobraź sobie przecięcie kostki sera jednym płaskim cięciem. Odsłonięta powierzchnia jest przekrojem. Nie jest to siatka bryły ani jej cień: siatka powstaje przez rozłożenie powierzchni, a rzut przez przeniesienie obrazu na płaszczyznę.
W wielościanie zaznacz miejsca, w których płaszczyzna przecina krawędzie. Sąsiednie punkty leżące na wspólnej ścianie łączymy odcinkiem tej ściany. Kontynuujemy aż powstanie zamknięty wielokąt. Nie łączymy dowolnie wszystkich zaznaczonych punktów, bo dostalibyśmy także przekątne przekroju.
Zasady i wzory
Przekrój bryły jest figurą powstałą po przecięciu bryły płaszczyzną. Jego kształt i wymiary zależą od położenia płaszczyzny, nie tylko od rodzaju bryły.
- Zaznacz punkty przecięcia płaszczyzny z krawędziami.
- Połącz tylko punkty leżące na tej samej ścianie.
- Długości w przekroju często są przekątnymi ścian lub podstaw.
Boki przekroju trzeba wyznaczyć z geometrii ścian bryły.
Jak czytać rysunek?
Zacieniowany prostokąt biegnie przez dwie przeciwległe pionowe krawędzie sześcianu. Jego pionowe boki są krawędziami długości \(a\), a poziome przekątnymi podstaw długości \(a\sqrt2\). Perspektywa na kartce może zniekształcać kąty; prostokątność wynika z prostopadłości krawędzi bocznych do podstaw.
Przykład krok po kroku
Sześcian o krawędzi 6 przecięto płaszczyzną przez dwie przeciwległe krawędzie pionowe. Oblicz pole przekroju.
Skąd boki przekroju? Dwie pionowe krawędzie sześcianu dają wysokość prostokąta równą \(6\). Odcinek łączący ich dolne końce jest przekątną kwadratowej podstawy, a nie jej bokiem. Dlatego szerokość wynosi \(\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2\).
- Rozpoznaj przekrój.Jest prostokątem o wysokości 6 i szerokości równej przekątnej podstawy.
- Policz przekątną podstawy.\(d_p=6\sqrt2\)
- Oblicz pole.\(P=6\cdot6\sqrt2=36\sqrt2\)
Typowy błąd
Przekrój nie zawsze ma taki sam kształt jak podstawa.
Dodatkowy przykład i kontrola
Przekrój walca płaszczyzną zawierającą jego oś jest prostokątem o bokach \(2r,H\), więc ma pole \(2rH\). W stożku taki przekrój jest trójkątem o podstawie \(2r\) i wysokości \(H\), więc jego pole wynosi \(rH\). Pamiętaj o średnicy, nie promieniu, jako całej szerokości przekroju.
Cięcie graniastosłupa równolegle do podstaw, pomiędzy nimi, daje figurę przystającą do podstawy. W ostrosłupie cięcie równoległe do podstawy, pomiędzy nią a szczytem, daje figurę podobną i mniejszą. Jeśli odległość tej płaszczyzny od szczytu jest połową wysokości, długości przekroju są o połowę mniejsze, a pole cztery razy mniejsze. Płaszczyzna tylko dotykająca bryły może dać punkt lub odcinek; w typowych zadaniach o polu przekroju przecina jej wnętrze.