Twierdzenie Pitagorasa w stereometrii służy do obliczania długości w trójkątach prostokątnych znajdujących się na powierzchni lub wewnątrz bryły. Najpierw trzeba wskazać taki trójkąt i jego kąt prosty.
Pojęcia, od których zaczynamy
Przyprostokątne spotykają się pod kątem \(90^\circ\). Przeciwprostokątna leży naprzeciw tego kąta i jest najdłuższym bokiem. Dla przyprostokątnych \(u,v\) i przeciwprostokątnej \(w\) zapisujemy \(u^2+v^2=w^2\). Litery same nie decydują, który bok stoi po której stronie.
Jeśli szukasz przeciwprostokątnej, dodajesz kwadraty. Jeśli szukasz przyprostokątnej, odejmujesz jej partnera od kwadratu przeciwprostokątnej: \(u=\sqrt{w^2-v^2}\). Nie wystarczy, że na szkicu kąt wygląda na prosty. Musi to wynikać np. z wysokości prostopadłej do podstawy albo prostokątnej ściany.
Zasady i wzory
Twierdzenie Pitagorasa w stereometrii stosujemy w trójkątach prostokątnych leżących w podstawie, ścianie lub wewnątrz bryły. Jeden rachunek może wyznaczyć bok trójkąta potrzebnego w następnym etapie.
- Wskaż rzeczywisty trójkąt prostokątny w bryle.
- Wskaż trzy boki jednego trójkąta i uzasadnij, dlaczego ma kąt prosty.
- Długości zawsze wybieramy jako dodatnie pierwiastki.
W prostopadłościanie prowadzi to do \(d^2=a^2+b^2+c^2\).
Jak czytać rysunek?
W połowie przekroju osiowego stożka promień \(r\) i wysokość \(H\) są przyprostokątnymi. Tworząca \(l\) leży naprzeciw kąta prostego. Dlatego \(l^2=r^2+H^2\). Wyróżniona połowa przekroju pokazuje, które odcinki należą do tego samego trójkąta.
Przykład krok po kroku
Prostopadłościan ma wymiary 2, 3 i 6. Oblicz przekątną bryły.
- Zapisz sumę trzech kwadratów.\(d^2=2^2+3^2+6^2\)
- Oblicz.\(d^2=4+9+36=49\)
- Wyciągnij pierwiastek.\(d=7\)
Typowy błąd
Wzór działa dla długości prostopadłych kierunków, nie dla dowolnych trzech odcinków.
Dodatkowy przykład i kontrola
Stożek ma tworzącą \(13\) i promień \(5\). Szukamy wysokości, więc odejmujemy: \(H^2=13^2-5^2=169-25=144\), zatem \(H=12\). Kontrola: \(5^2+12^2=13^2\). Wynik \(-12\) nie opisuje długości.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o boku podstawy \(6\) i wysokości \(4\) wysokość ściany bocznej wynosi \(\sqrt{4^2+3^2}=5\). Krawędź boczna biegnie jednak do wierzchołka podstawy: jej rzut ma długość \(3\sqrt2\), więc krawędź wynosi \(\sqrt{4^2+(3\sqrt2)^2}=\sqrt{34}\). Inny odcinek oznacza inny trójkąt, nawet w tej samej bryle.