Trygonometria w stereometrii wiąże kąty z długościami boków odpowiedniego trójkąta prostokątnego w bryle. Najpierw wyznaczamy rzut odcinka lub przekrój, a dopiero później wybieramy sinus, cosinus albo tangens.
Pojęcia, od których zaczynamy
Wybierz kąt ostry \(\alpha\). Bok naprzeciw niego jest przyprostokątną przeciwległą. Druga przyprostokątna przylega do kąta. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego. Sinus dzieli bok przeciwległy przez przeciwprostokątną, cosinus przyległy przez przeciwprostokątną, a tangens przeciwległy przez przyległy.
Kąt odcinka z podstawą nie jest kątem z dowolną krawędzią podstawy. Opuść z górnego końca prostopadłą na podstawę i połącz otrzymany punkt z dolnym końcem. Powstaje rzut odcinka. Kąt między odcinkiem i tym rzutem jest szukanym kątem nachylenia, o ile odcinek nie jest prostopadły do podstawy.
Zasady i wzory
Trygonometria w stereometrii działa po znalezieniu trójkąta prostokątnego zawierającego szukany kąt. Dla prostej nieprostopadłej do płaszczyzny drugim ramieniem kąta jest kierunek jej rzutu prostopadłego.
- Najpierw narysuj właściwy przekrój.
- Nazwij przeciwprostokątną i przyprostokątne względem kąta.
- Kalkulator ustaw w stopniach, jeśli zadanie wymaga miary kąta.
\(l\) jest długością odcinka przestrzennego, \(p\) długością jego rzutu na podstawę, a \(h\) składową prostopadłą do podstawy. Wzór na tangens wymaga \(p\gt 0\). Dla odcinka prostopadłego do podstawy kąt wynosi \(90^\circ\), a tangens nie jest określony.
Jak czytać rysunek?
W ostrosłupie \(SO\) jest wysokością, \(SA\) krawędzią boczną, a \(AO\) jej rzutem na podstawę. Kąt \(\alpha\) leży przy \(A\). Jego bok przeciwległy to \(SO\), przyległy \(AO\), a przeciwprostokątna \(SA\). Trójkąt wyjęty z bryły pozwala zapisać \(\tan\alpha=\frac{SO}{AO}\).
Przykład krok po kroku
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym bok podstawy ma 6, a wysokość \(3\sqrt2\). Oblicz kąt krawędzi bocznej z podstawą.
Rzut wskazuje drugi bok trójkąta. Górny wierzchołek ostrosłupa rzuca się prostopadle na środek kwadratu. Rzut krawędzi bocznej łączy więc wierzchołek kwadratu z jego środkiem, czyli ma połowę długości przekątnej. Tangens wybieramy, bo znamy oba boki prostokątne: wysokość i ten rzut.
- Wyznacz rzut krawędzi na podstawę.\(p=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2\)
- Oblicz tangens.\(\tan\alpha=\frac{3\sqrt2}{3\sqrt2}=1\)
- Odczytaj kąt.\(\alpha=45^\circ\)
Typowy błąd
Kąt krawędzi z podstawą nie jest kątem przy dowolnym boku podstawy.
Dodatkowy przykład i kontrola
Tworząca stożka ma długość \(10\) i tworzy z podstawą kąt \(30^\circ\). Wysokość leży naprzeciw tego kąta, więc \(H=10\sin30^\circ=10\cdot\frac12=5\). Promień przylega do kąta: \(r=10\cos30^\circ=5\sqrt3\). Kontrola: \(5^2+(5\sqrt3)^2=100=10^2\).
Kąt ściany bocznej z podstawą ostrosłupa prawidłowego wyznaczamy w przekroju przez szczyt, środek podstawy i środek jej boku. Używamy wysokości ściany i jej rzutu, a nie krawędzi bocznej. Dla prostej prostopadłej do podstawy kąt wynosi \(90^\circ\), jej rzut jest punktem, a tangens nie istnieje. Jeśli wynik nie odpowiada znanemu kątowi, można podać dokładną wartość funkcji; samą miarę przybliżamy tylko wtedy, gdy wymaga tego polecenie.