Bryły podobne mają ten sam kształt, a wszystkie odpowiadające długości zmieniają się w jednej skali. Przy skali długości \(k\) pola zmieniają się w skali \(k^2\), a objętości w skali \(k^3\).
Pojęcia, od których zaczynamy
Najpierw ustal kierunek porównania. Zapis \(k=\frac{a_2}{a_1}\) oznacza przejście od pierwszej bryły do drugiej. Jeśli bok rośnie z \(2\) do \(6\), to \(k=3\). W odwrotną stronę skala wynosi \(\frac13\). Skala jest dodatnia.
Nie wystarczy, że obie bryły są prostopadłościanami. Pudełka o wymiarach \(2,3,4\) oraz \(4,6,8\) są podobne, ponieważ wszystkie wymiary podwojono. Pudełko \(4,6,9\) nie jest podobne do pierwszego. Zwiększenie tylko wysokości walca nie jest jednolitym powiększeniem całej bryły.
Zasady i wzory
Bryły podobne mają ten sam kształt. Skala długości wynosi \(k\), pola powierzchni zmieniają się jak \(k^2\), a objętości jak \(k^3\).
- Porównuj odpowiadające długości.
- Skala pól jest kwadratem skali długości.
- Skala objętości jest sześcianem skali długości.
\(k\) jest skalą długości od pierwszej bryły do drugiej: stosunek odpowiadającej długości drugiej do pierwszej.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku krawędź drugiego sześcianu jest dwa razy dłuższa. Każda ściana składa się z czterech odpowiednio mniejszych kwadratów, a wnętrze można podzielić na osiem mniejszych sześcianów. To obrazuje różnicę między skalą długości \(2\), pola \(4\) i objętości \(8\).
Przykład krok po kroku
Bryła podobna ma wszystkie długości 3 razy większe. Mniejsza ma objętość 10. Oblicz większą.
Dlaczego skala objętości jest sześcianem? W bryłach podobnych każdy wymiar liniowy mnoży się przez \(k\). Pole podstawy rośnie \(k^2\) razy, a wysokość jeszcze \(k\) razy, więc objętość \(k^3\) razy. Jeżeli podano stosunek objętości i szukamy skali długości, trzeba wykonać działanie odwrotne: wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia.
- Wyznacz skalę objętości.\(k^3=3^3=27\)
- Pomnóż objętość.\(V_2=10\cdot27\)
- Oblicz.\(V_2=270\)
Typowy błąd
Objętości nie zmieniają się liniowo.
Dodatkowy przykład i kontrola
Jeśli stosunek objętości drugiej bryły do pierwszej wynosi \(\frac{64}{125}\), to skala długości jest równa \(k=\sqrt[3]{\frac{64}{125}}=\frac45\). Stosunek pól wynosi wtedy \(\frac{16}{25}\). Pierwiastek trzeciego stopnia oznacza dodatnią liczbę, której sześcian daje podany stosunek.
Przy \(k=\frac12\) długości maleją dwukrotnie, pola czterokrotnie, a objętości ośmiokrotnie. Gdy tylko wysokość walca podwoimy, pozostawiając promień bez zmian, objętość wzrośnie jedynie dwukrotnie. Wzoru z \(k^3\) używamy dopiero po potwierdzeniu podobieństwa i wspólnej skali wszystkich długości.