Bryły podobne

Wyobraź sobie mały model wieży i jej ogromny odpowiednik w rzeczywistości. Kształt pozostaje ten sam, ale każda długość została pomnożona przez tę samą liczbę. Tak działają bryły podobne.

Konkret: powiększanie modelu

• Jeżeli każda krawędź modelu zostanie podwojona, bryła zachowuje kształt.
• Długości rosną zgodnie ze skalą podobieństwa k.
• Pola powierzchni rosną jak k².
• Objętości rosną jak k³.

Reprezentacja: trzy poziomy zmiany

W bryłach podobnych warto oddzielić trzy rodzaje wielkości. Krawędź jest jednowymiarowa, pole jest dwuwymiarowe, a objętość trójwymiarowa.

• Długość: mnożymy przez k.
• Pole powierzchni: mnożymy przez k².
• Objętość: mnożymy przez k³.

Abstrakcja: zależności

• Jeżeli skala podobieństwa wynosi k, to a₂=k·a₁.
• P₂=k²·P₁.
• V₂=k³·V₁.
• Jeżeli znamy stosunek objętości, to k=∛(V₂/V₁).

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-P-O: Długość — k, Pole — k², Objętość — k³. W pałacu pamięci stoi balonowa kostka. Najpierw rośnie jej jedna krawędź jak gigantyczny miecz, potem każda ściana rozlewa się jak dywan, a na końcu całe wnętrze eksploduje w trzech kierunkach. Jeden wymiar, dwa wymiary, trzy wymiary — dlatego pojawiają się potęgi 1, 2 i 3.

Przykład krok po kroku: krawędzie

Dwie podobne bryły mają skalę k=3. Krawędź mniejszej bryły ma 4 cm.

• Krok 1: a₂=k·a₁.
• Krok 2: a₂=3·4.
• Wynik: a₂=12 cm.

Przykład krok po kroku: pola powierzchni

Pole powierzchni mniejszej bryły wynosi 20 cm², a skala podobieństwa k=2.

• Krok 1: P₂=k²·P₁.
• Krok 2: P₂=2²·20=4·20.
• Wynik: P₂=80 cm².

Przykład krok po kroku: objętości

Objętość mniejszej bryły wynosi 50 cm³, a skala podobieństwa k=2.

• Krok 1: V₂=k³·V₁.
• Krok 2: V₂=2³·50=8·50.
• Wynik: V₂=400 cm³.

Przykład odwrotny: wyznaczanie skali

Objętości podobnych brył mają stosunek 27:1.

• Krok 1: k³=27.
• Krok 2: k=∛27.
• Wynik: k=3.

Najczęstsze błędy

• Mnożenie pola przez k zamiast przez k².
• Mnożenie objętości przez k² zamiast przez k³.
• Odwracanie skali przy przechodzeniu od mniejszej bryły do większej.
• Mylenie stosunku pól ze skalą długości.
• Zapominanie o pierwiastku kwadratowym lub sześciennym przy wyznaczaniu k.

Kontrola wyniku

• Jeżeli k>1, większa bryła powinna mieć większe długości, pola i objętość.
• Objętość rośnie szybciej niż pole, a pole szybciej niż długość.
• Sprawdź jednostki: cm, cm², cm³.
• Podstaw skalę ponownie do zależności k, k², k³.
• Przy skali 2 objętość musi wzrosnąć osiem razy, nie dwa razy.

Najczęstsze pytania