Środek odcinka leży na nim i dzieli go na dwie równe części. Jego współrzędne są średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych końców.
Pojęcia, od których zaczynamy
Średnia dwóch liczb powstaje przez dodanie ich i podzielenie sumy przez dwa. Wskazuje liczbę leżącą dokładnie w połowie między nimi. Dla \(-4\) i \(6\) jest to \(1\), ponieważ od \(-4\) do \(1\) oraz od \(1\) do \(6\) jest po \(5\) jednostek.
Na płaszczyźnie wykonujemy tę czynność dwa razy: osobno dla położenia poziomego i pionowego. Nie uśredniamy wszystkich czterech liczb razem. Odpowiedzią jest uporządkowana para, a nie jedna liczba. Sama równa odległość od końców nie wystarcza: środek musi również leżeć na odcinku.
Zasady i wzory
Środek odcinka otrzymujemy przez obliczenie średniej arytmetycznej współrzędnych jego końców osobno dla osi x i y.
- Uśredniaj współrzędne x ze współrzędnymi x.
- Uśredniaj y z y.
- Środek jest jednakowo odległy od obu końców.
Wzór stosujemy współrzędna po współrzędnej.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku \(S\) leży pomiędzy \(A\) i \(B\). Współrzędna \(x_S=1\) jest średnią \(-4\) i \(6\), a \(y_S=4\) średnią \(1\) i \(7\). Oba fragmenty odcinka mają tę samą długość. Środek nie musi być początkiem układu i nie musi leżeć na żadnej osi.
Przykład krok po kroku
Wyznacz środek odcinka o końcach \(A=(-4,1)\), \(B=(6,7)\).
Środek jest w połowie w obu kierunkach. Współrzędną poziomą liczymy wyłącznie ze współrzędnych \(x\), a pionową wyłącznie z \(y\). Średnia dwóch współrzędnych wskazuje punkt dokładnie pomiędzy nimi. Nie dodajemy współrzędnej \(x\) jednego końca do \(y\) drugiego.
- Oblicz współrzędną x.\(x_S=\frac{-4+6}{2}=1\)
- Oblicz współrzędną y.\(y_S=\frac{1+7}{2}=4\)
- Zapisz punkt.\(S=(1,4)\)
Typowy błąd
Nie wolno krzyżowo dodawać x jednego punktu z y drugiego.
Dodatkowy przykład i kontrola
Można znaleźć brakujący koniec. Jeśli \(A=(2,-1)\), a \(S=(5,3)\), to \(\frac{2+x_B}{2}=5\). Mnożymy przez dwa i odejmujemy \(2\), otrzymując \(x_B=8\). Podobnie \(\frac{-1+y_B}{2}=3\), więc \(y_B=7\). Drugi koniec to \(B=(8,7)\).
Ogólna postać tego przekształcenia to \(x_B=2x_S-x_A\), \(y_B=2y_S-y_A\). Kontrola polega na ponownym obliczeniu średnich. Współrzędne środka mogą być ułamkami, nawet jeśli końce mają współrzędne całkowite. Nie zaokrąglaj ich do węzłów siatki.