Odległość punktów na płaszczyźnie jest długością łączącego je odcinka. W prostokątnym układzie współrzędnych obliczamy ją z różnic współrzędnych i twierdzenia Pitagorasa.
Pojęcia, od których zaczynamy
Punkt \((x,y)\) opisują dwie liczby w ustalonej kolejności. Pierwsza wskazuje położenie poziome, druga pionowe. Na osi poziomej liczby dodatnie są po prawej od zera, a na pionowej nad zerem. Współrzędna może być ujemna, lecz długość odcinka nie może.
Aby przejść z jednego punktu do drugiego, można najpierw przesunąć się poziomo, potem pionowo. Długości tych przesunięć są wartościami bezwzględnymi różnic współrzędnych. Powstają prostopadłe boki pomocniczego trójkąta. Bezpośredni odcinek między punktami jest jego przeciwprostokątną.
Zasady i wzory
Odległość dwóch punktów jest długością odcinka między nimi. Różnice współrzędnych tworzą przyprostokątne trójkąta prostokątnego.
- Odejmuj współrzędne tego samego rodzaju.
- Kolejność odejmowania nie zmienia wyniku po podniesieniu do kwadratu.
- Odległość jest zawsze nieujemna.
To twierdzenie Pitagorasa zapisane w układzie współrzędnych.
Jak czytać rysunek?
Od \(A=(-1,2)\) do \(B=(3,5)\) przesuwamy się o \(4\) jednostki w prawo i \(3\) w górę. To przyprostokątne pomocniczego trójkąta. Droga po dwóch odcinkach ma długość \(7\), ale bezpośrednia odległość wynosi \(5\). Rysunek powinien mieć jednakową jednostkę na obu osiach, jeśli chcemy oceniać jego proporcje.
Przykład krok po kroku
Oblicz odległość punktów \(A=(-1,2)\) i \(B=(3,5)\).
Wzór wynika z Pitagorasa. Różnica współrzędnych \(x\) mierzy przesunięcie poziome, a różnica współrzędnych \(y\) pionowe. Te kierunki są prostopadłe. Szukany odcinek jest przeciwprostokątną, dlatego dodajemy kwadraty obu różnic i pierwiastkujemy wynik.
- Oblicz różnice.\(\Delta x=3-(-1)=4,\quad\Delta y=5-2=3\)
- Podstaw do wzoru.\(AB=\sqrt{4^2+3^2}\)
- Oblicz.\(AB=\sqrt{25}=5\)
Typowy błąd
Nie dodajemy samych różnic bez kwadratów.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla \(A=(-2,-1)\), \(B=(1,3)\) różnice wynoszą \(1-(-2)=3\) oraz \(3-(-1)=4\). Zatem \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Odejmowanie liczby ujemnej wymaga nawiasu; podwójny minus daje plus.
Przy jednakowych współrzędnych pionowych odcinek jest poziomy i wystarcza \(|x_2-x_1|\). Przy jednakowych współrzędnych poziomych używamy \(|y_2-y_1|\). Gdy oba punkty są identyczne, odległość wynosi zero. Jeśli otrzymasz np. \(\sqrt{13}\), nie musisz zamieniać tego dokładnego wyniku na przybliżenie.