Układ współrzędnych

Wyobraź sobie plan miasta z dwiema głównymi ulicami przecinającymi się pod kątem prostym. Ulica pozioma to oś x, pionowa to oś y, a skrzyżowanie jest początkiem układu współrzędnych.

Konkret: mapa punktów

• Każdy punkt opisujemy parą liczb (x,y).
• Pierwsza liczba mówi, ile przesuwamy się poziomo.
• Druga liczba mówi, ile przesuwamy się pionowo.
• Punkt O=(0,0) jest początkiem układu.
• Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki.

Reprezentacja: jak odczytać punkt

Dla punktu A=(3,2) najpierw przesuwamy się o 3 jednostki w prawo, a potem o 2 jednostki w górę. Dla punktu B=(-4,1) idziemy 4 jednostki w lewo i 1 jednostkę w górę.

Abstrakcja: znaki współrzędnych w ćwiartkach

• I ćwiartka: x>0, y>0.
• II ćwiartka: x<0, y>0.
• III ćwiartka: x<0, y<0.
• IV ćwiartka: x>0, y<0.
• Punkt leżący na osi x ma y=0.
• Punkt leżący na osi y ma x=0.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-P: Poziomo najpierw, Pionowo potem. W pałacu pamięci na dywanie leży gigantyczna litera x jak ruchomy chodnik, a ze ściany wyrasta winda y. Najpierw jedziesz chodnikiem, dopiero potem windą. Gdy pomylisz kolejność, winda wyrzuca cię przez sufit — absurdalny obraz pomaga zapamiętać zapis (x,y).

Przykład krok po kroku: zaznaczanie punktu

Zaznacz punkt A=(-2,3).

• Krok 1: Pierwsza współrzędna to x=-2, więc idź 2 jednostki w lewo.
• Krok 2: Druga współrzędna to y=3, więc idź 3 jednostki w górę.
• Krok 3: Punkt leży w II ćwiartce.

Przykład krok po kroku: rozpoznawanie ćwiartki

W której ćwiartce leży punkt B=(5,-4)?

• Krok 1: x=5 jest dodatnie.
• Krok 2: y=-4 jest ujemne.
• Krok 3: Układ znaków (+,-) odpowiada IV ćwiartce.
• Odpowiedź: punkt leży w IV ćwiartce.

Przykład krok po kroku: punkt na osi

Gdzie leży punkt C=(0,-6)?

• Krok 1: x=0, więc punkt nie przesuwa się w lewo ani w prawo.
• Krok 2: y=-6, więc znajduje się 6 jednostek poniżej początku.
• Odpowiedź: punkt leży na ujemnej części osi y.

Przykład krok po kroku: odległość od osi

Punkt D=(-7,4). Oblicz jego odległość od osi x i osi y.

• Krok 1: Odległość od osi x jest równa |y|=|4|=4.
• Krok 2: Odległość od osi y jest równa |x|=|-7|=7.
• Odpowiedź: od osi x punkt dzielą 4 jednostki, a od osi y — 7 jednostek.

Symetrie w układzie współrzędnych

• Odbicie względem osi x: (x,y) zamienia się na (x,-y).
• Odbicie względem osi y: (x,y) zamienia się na (-x,y).
• Odbicie względem początku układu: (x,y) zamienia się na (-x,-y).

Przykład krok po kroku: odbicie punktu

Punkt E=(3,-2). Wyznacz jego obraz w symetrii względem osi y.

• Krok 1: Przy odbiciu względem osi y zmienia się znak współrzędnej x.
• Krok 2: x=3 zmienia się na -3, a y=-2 pozostaje bez zmian.
• Odpowiedź: E'=(-3,-2).

Najczęstsze błędy

• Zamiana kolejności współrzędnych x i y.
• Mylenie ruchu w lewo z liczbą dodatnią.
• Przypisywanie punktu leżącego na osi do ćwiartki.
• Zmiana obu znaków przy odbiciu tylko względem jednej osi.
• Brak nawiasów w zapisie punktu.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy pierwsza współrzędna odpowiada ruchowi poziomemu.
• Sprawdź znaki obu współrzędnych.
• Punkt na osi x musi mieć y=0, a na osi y — x=0.
• Przy symetrii zmieniaj tylko te znaki, które wynikają z rodzaju odbicia.

Najczęstsze pytania