Układ współrzędnych pozwala określić położenie punktu za pomocą dwóch liczb. Pierwsza opisuje położenie w poziomie, a druga w pionie. Dzięki temu możesz zaznaczać punkty, odczytywać rysunki i opisywać figury za pomocą liczb.
1. Osie, początek układu i jednostka
Zacznijmy od osi liczbowej: po prawej stronie zera są liczby dodatnie, a po lewej ujemne. Na przykład minus trzy znajduje się trzy jednostki na lewo od zera. W układzie współrzędnych używamy dwóch prostopadłych osi liczbowych, które przecinają się pod kątem prostym.
- Oś pozioma to oś \(Ox\), nazywana również osią \(x\). Wartości rosną w prawo.
- Oś pionowa to oś \(Oy\), nazywana również osią \(y\). Wartości rosną w górę.
- Ich punkt przecięcia to początek układu oznaczany literą \(O\). Ma współrzędne \(O=(0,0)\).
Strzałki wskazują kierunki wzrostu wartości. Osie biegną dalej niż narysowany fragment. Podziałka mówi, ile wynosi odstęp między kolejnymi oznaczeniami. Nie zakładaj, że jedna kratka zawsze oznacza jedną jednostkę. Jeżeli kolejne kreski opisano liczbami zero, dwa i cztery, odstęp między nimi odpowiada dwóm jednostkom. Na rysunku poniżej odstęp między kolejnymi liniami siatki to jedna jednostka na każdej osi.
2. Jak czytać i zaznaczać punkt?
Zapis \(A=(3,2)\) oznacza, że punkt o nazwie \(A\) ma pierwszą współrzędną równą trzy, a drugą równą dwa. Litera jest nazwą punktu, a para liczb określa jego miejsce. Kolejność jest ustalona: najpierw x, potem y.
Aby go zaznaczyć, zacznij w początku układu. Przejdź trzy jednostki w prawo, bo pierwsza współrzędna jest dodatnia. Z tego miejsca przejdź dwie jednostki w górę, bo druga jest dodatnia. Miejsce, do którego dotrzesz, to punkt \(A\).
Dla \(B=(-3,2)\) idziemy trzy jednostki w lewo, a następnie dwie w górę. Znak minus określa kierunek. Nie oznacza „ujemnej odległości”: droga w lewo nadal ma długość trzech jednostek. Punkty \(A\) i \(B\) są na tej samej wysokości, ponieważ mają tę samą drugą współrzędną.
Jak odczytać punkt z rysunku?
Wykonaj czynności odwrotne. Poprowadź od punktu pionowo linię do osi \(Ox\) i odczytaj pierwszą współrzędną. Następnie poprowadź poziomo linię do osi \(Oy\) i odczytaj drugą. Dla punktu \(B\) z rysunku są to odpowiednio minus trzy i dwa. Zapisz je w tej kolejności: \(B=(-3,2)\).
Współrzędne mogą być ułamkami: punkt \(P=(\frac12,-2)\) leży pół jednostki w prawo od osi pionowej i dwie jednostki poniżej osi poziomej. Punkty nie muszą wypadać na przecięciach narysowanych linii siatki.
3. Skąd biorą się ćwiartki i ich znaki?
Osie dzielą płaszczyznę na cztery obszary zwane ćwiartkami. Numerujemy je rzymskimi liczbami od I do IV. Zaczynamy w prawym górnym obszarze, a potem idziemy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: w lewo, w dół, w prawo. Same osie są granicami tych obszarów i nie należą do żadnej ćwiartki.
Znaki \(\gt\) i \(\lt\) czytamy odpowiednio „większe od” i „mniejsze od”. Zapis \(x\lt0\) mówi więc, że pierwsza współrzędna jest ujemna.
- I ćwiartka: w prawo i w górę, więc \(x\gt0\) i \(y\gt0\). Przykład: \((2,2)\).
- II ćwiartka: w lewo i w górę, więc \(x\lt0\) i \(y\gt0\). Przykład: \((-2,2)\).
- III ćwiartka: w lewo i w dół, więc \(x\lt0\) i \(y\lt0\). Przykład: \((-2,-2)\).
- IV ćwiartka: w prawo i w dół, więc \(x\gt0\) i \(y\lt0\). Przykład: \((2,-2)\).
Nie trzeba zapamiętywać znaków jako oderwanej tabeli: wynikają z kierunków na osiach.
Pierwsze pytanie o ćwiartkę
W której ćwiartce znajduje się \(C=(-4,3)\)? Najpierw sprawdź, czy któraś współrzędna jest zerem. Tutaj żadna nie jest, więc punkt leży wewnątrz jednej z ćwiartek. Pierwsza współrzędna jest ujemna, czyli szukamy po lewej stronie. Druga jest dodatnia, czyli szukamy u góry. Lewy górny obszar to II ćwiartka.
Do ustalenia ćwiartki wystarczą znaki. Punkty \((-4,3)\) i \((-100,1)\) mają różne położenia, ale oba leżą w II ćwiartce. Ćwiartka określa obszar, a nie dokładne miejsce punktu.
4. Punkty na osiach i odległość od osi
Dla punktu \(D=(0,3)\) nie wykonujemy ruchu w poziomie. Idziemy tylko trzy jednostki w górę, więc punkt pozostaje na osi \(Oy\). Dla \(E=(-2,0)\) idziemy dwie jednostki w lewo i nie zmieniamy wysokości. Punkt leży na osi \(Ox\).
- Na osi \(Ox\) zawsze \(y=0\). Pierwsza współrzędna może być dowolna.
- Na osi \(Oy\) zawsze \(x=0\). Druga współrzędna może być dowolna.
- Punkt \((0,0)\) należy do obu osi.
- Żaden z tych punktów nie należy do ćwiartki. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne.
Odległość punktu od osi mierzymy najkrótszą drogą, czyli prostopadle do tej osi. Z \((-3,2)\) do osi pionowej trzeba przejść trzy jednostki w poziomie. Do osi poziomej trzeba zejść o dwie jednostki. Stąd odległość od \(Oy\) wynosi trzy, a od \(Ox\) dwa.
Odległość jest nieujemna. Zapis \(|x|\) oznacza wartość bezwzględną, czyli odległość liczby od zera na osi liczbowej: \(|-3|=3\), \(|3|=3\), \(|0|=0\). Dlatego odległość punktu \((x,y)\) od osi \(Oy\) to \(|x|\), a od osi \(Ox\) to \(|y|\). Dla punktu leżącego na danej osi odległość od tej osi wynosi zero.
5. Odbicia: dlaczego zmienia się znak?
Odbicie względem osi to lustrzane położenie po jej drugiej stronie, w tej samej odległości od osi. Punkt i jego obraz leżą na prostej prostopadłej do osi odbicia. Znak prim w nazwie \(A'\) służy do oznaczenia obrazu punktu \(A\).
Odbicie względem osi poziomej
Rozważmy \(A=(-3,2)\). Przy odbiciu względem \(Ox\) punkt pozostaje trzy jednostki po lewej stronie. Zamiast dwóch jednostek nad osią jest dwie jednostki pod nią. Pierwsza współrzędna zostaje taka sama, a druga zmienia znak: \(A'=(-3,-2)\).
Odbicie względem osi pionowej i początku układu
Przy odbiciu tego samego punktu względem \(Oy\) wysokość pozostaje taka sama, natomiast lewa strona zamienia się z prawą. Obraz ma współrzędne \((3,2)\). Zmieniamy tylko znak pierwszej współrzędnej.
Odbicie względem początku układu umieszcza obraz po przeciwnej stronie punktu \(O\), tak aby \(O\) był środkiem odcinka łączącego punkt z obrazem. Dla \((-3,2)\) otrzymujemy \((3,-2)\): trzy jednostki w prawo i dwie w dół. Zmieniamy oba znaki. Można to uzyskać przez kolejne odbicia względem obu osi.
Podsumowanie reguł: względem \(Ox\) mamy \((x,y)\mapsto(x,-y)\), względem \(Oy\) mamy \((x,y)\mapsto(-x,y)\), a względem \(O\) mamy \((x,y)\mapsto(-x,-y)\). Strzałkę czytamy „przechodzi w”. Jeśli odbijany punkt leży na osi odbicia, pozostaje na miejscu: na przykład \((4,0)\) odbite względem \(Ox\) nadal ma współrzędne \((4,0)\).
Przykład łączący umiejętności
Punkt \(P=(4,-2)\) odbijamy względem osi \(Oy\). Wyznacz obraz, jego ćwiartkę i odległość od osi \(Ox\).
Najpierw obraz: oś odbicia jest pionowa, więc zmieniamy położenie w poziomie, zachowując wysokość. Dostajemy \(P'=(-4,-2)\). Teraz ćwiartka: obie współrzędne są ujemne, zatem obraz leży na dole po lewej, w III ćwiartce. Na końcu odległość: od poziomej osi \(Ox\) dzielą go dwie jednostki, bo \(|-2|=2\). Nie używamy tu pierwszej współrzędnej, gdyż opisuje odległość od drugiej osi.
6. Typowe pomyłki i samodzielna kontrola
Zamiana współrzędnych: \((-3,2)\) oznacza trzy jednostki w lewo i dwie w górę. Zapis \((2,-3)\) oznacza dwie w prawo i trzy w dół. To dwa różne punkty, nawet w różnych ćwiartkach.
Przypisywanie osi do ćwiartki: punkt \((0,-4)\) nie leży w III ani IV ćwiartce. Jest na ujemnej części osi \(Oy\), czyli na granicy między nimi. Najpierw szukaj zera we współrzędnych, potem sprawdzaj znaki.
Mylenie odbicia z zamianą miejsc liczb: odbicie względem osi zmienia odpowiedni znak, a nie kolejność współrzędnych. Sprawdź na rysunku, która odległość i które położenie mają pozostać bez zmian.
Przed przejściem do zadań spróbuj własnymi słowami objaśnić zapis punktu, wskazać ćwiartki bez tabeli oraz wyjaśnić, dlaczego punkt na osi ma jedną współrzędną zerową. Następnie odtwórz regułę odbicia, wyobrażając sobie lustro na wybranej osi. To pomoże, gdy zapomnisz gotowy zapis.