Równanie prostej opisuje wszystkie punkty należące do tej prostej. Punkt należy do niej wtedy, gdy po podstawieniu obu jego współrzędnych otrzymujemy prawdziwą równość.
Pojęcia, od których zaczynamy
W zapisie \(y=ax+b\) litery \(x,y\) są współrzędnymi zmiennego punktu. Liczby \(a,b\) ustalają jedną konkretną prostą. Współczynnik \(a\) mówi, o ile zmienia się \(y\), gdy \(x\) zwiększamy o jeden. Wyraz \(b\) jest wartością \(y\) przy \(x=0\), czyli współrzędną przecięcia z osią pionową.
Do narysowania prostej wystarczą dwa różne punkty. Wybierz dwa wygodne \(x\), oblicz odpowiadające im \(y\), zaznacz obie pary i poprowadź przez nie prostą. Nie łącz punktów łamaną i nie kończ prostej na wybranych punktach: biegnie dalej w obie strony.
Zasady i wzory
W postaci kierunkowej \(y=ax+b\) liczba \(a\) opisuje nachylenie, a \(b\) współrzędną pionową punktu przecięcia z osią \(Oy\). Prosta pionowa nie ma postaci kierunkowej.
- Dla prostej poziomej \(a=0\).
- Prosta pionowa ma równanie \(x=c\).
- Punkt należy do prostej, gdy jego współrzędne spełniają równanie.
a jest współczynnikiem kierunkowym, b — wyrazem wolnym.
Jak czytać rysunek?
Wykres \(y=-2x+3\) przechodzi przez \((0,3)\) i \((2,-1)\). Przy zwiększeniu \(x\) o jeden współrzędna \(y\) spada o dwa. Dlatego prosta opada w prawo. Liczba \(3\) nie jest miejscem zerowym: oznacza przecięcie osi \(Oy\).
Przykład krok po kroku
Sprawdź, czy punkt \(P=(2,-1)\) leży na prostej \(y=-2x+3\).
- Podstaw x punktu.\(y=-2\cdot2+3\)
- Oblicz prawą stronę.\(y=-1\)
- Porównaj z y punktu.\(-1=-1\Rightarrow P\in l\)
Typowy błąd
Nie wystarczy podstawić tylko jedną współrzędną bez porównania wyniku.
Dodatkowy przykład i kontrola
Postać ogólna to \(Ax+By+C=0\), gdzie \(A,B\) nie są jednocześnie zerowe. Obejmuje również proste pionowe. Jeżeli \(B\ne0\), możemy wyznaczyć \(y\): \(y=-\frac ABx-\frac CB\). Przykładowo \(2x+y-3=0\) daje \(y=-2x+3\).
Prosta pionowa \(x=2\) zawiera wszystkie punkty z pierwszą współrzędną równą \(2\); nie ma postaci \(y=ax+b\). Prosta pozioma \(y=-1\) ma \(a=0\). Aby znaleźć przecięcie osi \(Ox\), podstaw \(y=0\). W przykładzie \(-2x+3=0\), więc \(x=\frac32\).