Dwa różne punkty wyznaczają dokładnie jedną prostą. Jej równanie znajdujemy z różnic współrzędnych albo, w przypadku prostej pionowej, z ich wspólnej współrzędnej x.
Pojęcia, od których zaczynamy
Najpierw sprawdź, czy punkty rzeczywiście są różne. Powtórzenie tego samego punktu nie daje wystarczającej informacji: można przez niego poprowadzić nieskończenie wiele prostych. Następnie porównaj współrzędne poziome. Gdy są równe, otrzymujesz prostą pionową i nie wykonujesz dzielenia przez zero.
Jeżeli współrzędne poziome są różne, oblicz przyrost pionowy i poziomy w tej samej kolejności punktów. Ich iloraz jest nachyleniem. Zapis \(y-y_1=a(x-x_1)\) mówi, że zmiana pionowa od wybranego punktu ma być nachyleniem razy zmiana pozioma.
Zasady i wzory
Dwa różne punkty wyznaczają jedną prostą. Najpierw liczymy współczynnik kierunkowy, a następnie wyznaczamy wyraz wolny z równania jednego z punktów.
- W mianowniku musi być \(x_2-x_1\).
- Gdy \(x_1=x_2\), prosta jest pionowa.
- Na końcu sprawdź równanie w obu punktach.
Druga postać jest równaniem punkt–nachylenie.
Jak czytać rysunek?
Między punktami \((1,2)\) i \((4,8)\) przyrost poziomy wynosi \(3\), a pionowy \(6\). Na jedną jednostkę w prawo przypadają dwie w górę, więc \(a=2\). Po zapisaniu prostej trzeba jeszcze ustalić jej położenie przez podstawienie jednego punktu.
Przykład krok po kroku
Wyznacz prostą przez \(A=(1,2)\) i \(B=(4,8)\).
Najpierw sprawdź współrzędne poziome. Jeśli oba punkty mają ten sam \(x\), prosta jest pionowa i zapisujemy \(x=x_1\). W przeciwnym razie liczymy nachylenie. Wzór \(y-y_1=a(x-x_1)\) wymusza przejście przez pierwszy punkt; drugi służy do kontroli wyniku.
- Oblicz nachylenie.\(a=\frac{8-2}{4-1}=2\)
- Podstaw punkt A.\(y-2=2(x-1)\)
- Uprość.\(y=2x\)
Typowy błąd
Nie można dzielić przez różnicę współrzędnych y.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla \(A=(-2,1)\), \(B=(2,3)\) mamy \(a=\frac{3-1}{2-(-2)}=\frac12\). Korzystając z punktu \(A\), zapisujemy \(y-1=\frac12(x+2)\), czyli \(y=\frac12x+2\). Kontrola dla \(B\): \(\frac12\cdot2+2=3\).
Dla \((3,-1)\) i \((3,5)\) równanie brzmi \(x=3\). Dla \((-2,4)\) i \((6,4)\) otrzymujemy \(y=4\). Kolejność odejmowania można odwrócić w obu różnicach jednocześnie; wtedy oba znaki się zmienią i iloraz pozostanie taki sam. Odwrócenie tylko jednej różnicy daje błędny znak nachylenia.