Współczynnik kierunkowy prostej

Wyobraź sobie drogę prowadzącą pod górę, w dół albo idealnie poziomo. Współczynnik kierunkowy opisuje jej nachylenie: porównuje zmianę wysokości ze zmianą poziomego przesunięcia.

Konkret: nachylenie drogi

• Gdy droga wznosi się w prawo, współczynnik kierunkowy jest dodatni.
• Gdy opada w prawo, współczynnik jest ujemny.
• Gdy jest pozioma, współczynnik wynosi 0.
• Im większa wartość bezwzględna współczynnika, tym bardziej stroma prosta.

Reprezentacja: zmiana y do zmiany x

Dla punktów A=(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂) współczynnik kierunkowy obliczamy ze wzoru:

a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

• Licznik to zmiana pionowa.
• Mianownik to zmiana pozioma.
• Odejmujemy współrzędne w tej samej kolejności.
• Gdy x₁=x₂, mianownik wynosi 0 i prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego.

Abstrakcja: współczynnik w równaniu prostej

W równaniu y=ax+b liczba a jest współczynnikiem kierunkowym.

• a>0 — funkcja liniowa rośnie.
• a<0 — funkcja liniowa maleje.
• a=0 — wykres jest prostą poziomą.
• Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy.
• Dla prostych prostopadłych a₁·a₂=-1, jeśli obie nie są pionowe.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim G-P-Z: Góra, Prawo, Znak. W pałacu pamięci stoisz na gigantycznej rampie. Patrzysz, ile kroków idziesz w górę lub w dół, potem ile kroków w prawo, a na końcu ogromny znak plus albo minus wyskakuje z podłogi. Góra podzielona przez Prawo daje współczynnik, a Znak mówi, czy prosta rośnie, czy maleje.

Przykład krok po kroku: współczynnik dodatni

Oblicz współczynnik prostej przez A=(1,2) i B=(5,10).

• Krok 1: Zmiana y: 10−2=8.
• Krok 2: Zmiana x: 5−1=4.
• Krok 3: a=8/4=2.
• Wniosek: prosta rośnie i przy przesunięciu o 1 w prawo y zwiększa się o 2.

Przykład krok po kroku: współczynnik ujemny

Oblicz współczynnik prostej przez C=(-2,5) i D=(4,-1).

• Krok 1: Zmiana y: -1−5=-6.
• Krok 2: Zmiana x: 4−(-2)=6.
• Krok 3: a=-6/6=-1.
• Wniosek: prosta maleje.

Przykład krok po kroku: współczynnik ułamkowy

Dane są punkty E=(0,3) i F=(6,5).

• Krok 1: Zmiana y: 5−3=2.
• Krok 2: Zmiana x: 6−0=6.
• Krok 3: a=2/6=1/3.
• Wniosek: prosta rośnie łagodnie.

Przykład krok po kroku: prosta pozioma

Dane są punkty G=(-3,4) i H=(7,4).

• Krok 1: Zmiana y: 4−4=0.
• Krok 2: Zmiana x: 7−(-3)=10.
• Krok 3: a=0/10=0.
• Wniosek: prosta jest pozioma.

Przykład krok po kroku: prosta pionowa

Dane są punkty K=(2,-5) i L=(2,8).

• Krok 1: Zmiana x: 2−2=0.
• Krok 2: Wzór prowadziłby do dzielenia przez zero.
• Wniosek: prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego.

Najczęstsze błędy

• Zamiana licznika z mianownikiem.
• Odejmowanie y w jednej kolejności, a x w odwrotnej.
• Gubienie znaku minus.
• Uznawanie prostej pionowej za prostą o a=0.
• Mylenie dużego dodatniego a z prostą malejącą.

Kontrola wyniku

• Sprawdź kierunek prostej na szkicu.
• Jeśli prosta rośnie, wynik powinien być dodatni.
• Jeśli y obu punktów jest równe, wynik powinien wynosić 0.
• Jeśli x obu punktów jest równe, współczynnik nie istnieje.

Najczęstsze pytania