Współczynnik kierunkowy prostej określa zmianę współrzędnej y przypadającą na wzrost x o jedną jednostkę. Jego znak wskazuje kierunek zmian, a wartość bezwzględna ich tempo.
Pojęcia, od których zaczynamy
Symbol \(\Delta\) czytamy „delta” i używamy go do oznaczania zmiany. Dla dwóch punktów \(\Delta x=x_2-x_1\), \(\Delta y=y_2-y_1\). Dzieląc zmianę pionową przez poziomą, otrzymujemy \(a=\frac{\Delta y}{\Delta x}\). W mianowniku nie może być zera.
Dla \(a=2\) przejście o jedną jednostkę w prawo oznacza dwie w górę. Dla \(a=-2\) oznacza dwie w dół. Znak minus wskazuje kierunek, a nie ujemną długość. Jeżeli przesunięcie poziome wynosi \(3\), zmianę pionową mnożymy przez \(3\), zamiast ponownie używać samej wartości \(a\).
Zasady i wzory
Współczynnik kierunkowy \(a\) mierzy zmianę y przypadającą na jednostkową zmianę x. Znak określa, czy prosta rośnie, maleje, czy jest pozioma.
- \(a\gt 0\): prosta rośnie.
- \(a\lt 0\): prosta maleje.
- \(a=0\): prosta jest pozioma.
Współczynnik nie istnieje dla prostej pionowej.
Jak czytać rysunek?
Na wykresie \(y=-3x+5\) przechodzimy od \((0,5)\) do \((2,-1)\). Przyrost \(x\) wynosi \(2\), a przyrost \(y\) wynosi \(-6\). Iloraz \(\frac{-6}{2}=-3\) jest taki sam dla każdej pary różnych punktów tej prostej. Wyraz wolny określa jej położenie, ale nie zmienia nachylenia.
Przykład krok po kroku
Dla prostej \(y=-3x+5\) wyznacz zmianę y, gdy x rośnie o 2.
- Odczytaj współczynnik.\(a=-3\)
- Zapisz zmianę x.\(\Delta x=2\)
- Oblicz zmianę y.\(\Delta y=a\Delta x=-3\cdot2=-6\)
Typowy błąd
Wyraz wolny nie jest współczynnikiem kierunkowym.
Dodatkowy przykład i kontrola
Proste \(y=2x+1\) i \(y=2x-4\) mają ten sam współczynnik, chociaż znajdują się w innych miejscach układu. Przy jednakowej skali obu osi większe \(|a|\) oznacza bardziej stromy wykres. Przy różnych skalach osi wygląd rysunku może być mylący.
Współczynnik można również wyrazić jako \(a=\tan\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi \(Ox\). Dla prostej malejącej wybieramy kąt rozwarty. Prosta pozioma ma \(a=0\), a pionowa nie ma współczynnika kierunkowego: nie nazywamy go zerem ani nie dzielimy przez zero.