Dwie różne proste równoległe na płaszczyźnie nie mają punktów wspólnych. Jeśli obie mają postać kierunkową, ich współczynniki przy x są równe, a wyrazy wolne różne.
Pojęcia, od których zaczynamy
Równoległość oznacza wspólny kierunek, a nie jednakowe położenie. Na każdym odcinku poziomym obie proste zmieniają wysokość o tyle samo. Dlatego w równaniach \(y=a_1x+b_1\) i \(y=a_2x+b_2\) porównujemy \(a_1\) z \(a_2\).
Jeżeli również wyrazy wolne są równe, równania opisują tę samą prostą. W tej lekcji rozróżniamy proste równoległe różne i pokrywające się. Gdy zadanie szuka prostej przez wskazany punkt, najpierw przejmujemy nachylenie, a potem wyznaczamy jej położenie za pomocą tego punktu.
Zasady i wzory
Dwie różne niepionowe proste są równoległe wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Różne wyrazy wolne gwarantują, że są to różne proste.
- Proste pionowe \(x=c_1\) i \(x=c_2\) są różne i równoległe, gdy \(c_1\ne c_2\).
- Równe a i równe b oznaczają tę samą prostą.
- Punkt wyznacza brakujący wyraz wolny.
Dwie różne proste \(y=a_1x+b_1\) i \(y=a_2x+b_2\) są równoległe przy równych współczynnikach kierunkowych i różnych wyrazach wolnych. Dwie różne proste pionowe również są równoległe.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku proste \(y=x+2\) oraz \(y=x-2\) mają ten sam kierunek, ponieważ w obu współczynnik przy \(x\) wynosi \(1\). Oś pionową przecinają na innych wysokościach. Odległość pionowa między nimi jest stała, ale najkrótszą odległość między prostymi mierzymy prostopadle do nich.
Przykład krok po kroku
Wyznacz prostą równoległą do \(y=2x+1\), przechodzącą przez \(P=(3,-2)\).
Co zachowuje równoległość? Dwie niepionowe proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy \(a\). Wyraz wolny \(b\) określa ich położenie. Dlatego przepisujemy \(a\), a \(b\) wyznaczamy z punktu, przez który ma przechodzić szukana prosta.
- Zachowaj nachylenie.\(a=2\)
- Podstaw punkt do \(y=2x+b\).\(-2=2\cdot3+b\)
- Wyznacz b.\(b=-8\Rightarrow y=2x-8\)
Typowy błąd
Równoległość nie oznacza równości wyrazów wolnych.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla równania ogólnego \(2x-y+4=0\) najpierw wyznacz \(y\): \(y=2x+4\). Szukana prosta równoległa przez \((1,1)\) ma postać \(y=2x+b\). Z \(1=2+b\) otrzymujemy \(b=-1\), więc \(y=2x-1\).
Proste pionowe sprawdzamy osobno: \(x=2\) i \(x=5\) są równoległe, chociaż żadna nie ma współczynnika kierunkowego. W postaci ogólnej kierunki są równoległe lub proste się pokrywają, gdy \(A_1B_2-A_2B_1=0\). Po tym sprawdzeniu trzeba jeszcze odróżnić jedną prostą od dwóch różnych.