Proste prostopadłe przecinają się pod kątem \(90^\circ\). Dla dwóch prostych mających współczynniki kierunkowe prostopadłość jest równoważna warunkowi \(a_1a_2=-1\).
Pojęcia, od których zaczynamy
Odwrotność niezerowej liczby otrzymujemy przez zamianę licznika z mianownikiem. Liczbę \(2\) zapisujemy jako \(\frac21\), więc jej odwrotność to \(\frac12\). Aby otrzymać nachylenie prostopadłe, dodatkowo zmieniamy znak: \(2\) przechodzi na \(-\frac12\).
Dla nachylenia \(-\frac23\) odwrotnością jest \(-\frac32\), a liczbą przeciwną do niej \(\frac32\). Kontrola polega na pomnożeniu: \(-\frac23\cdot\frac32=-1\). Sama zmiana znaku nie wystarcza, chyba że wartość bezwzględna nachylenia wynosi jeden.
Zasady i wzory
Dwie niepionowe proste o niezerowych nachyleniach są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1.
- Współczynniki są przeciwnymi odwrotnościami.
- Prosta pozioma jest prostopadła do pionowej.
- Warunek iloczynu nie obejmuje pary pionowa–pozioma.
Warunek dotyczy prostych mających współczynniki kierunkowe.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku proste o nachyleniach \(\frac12\) i \(-2\) tworzą kąt prosty. Jedna rośnie, druga maleje. Jednak przeciwny znak współczynników sam w sobie nie dowodzi prostopadłości: trzeba sprawdzić ich iloczyn. Ocenianie kąta na rysunku ma sens tylko przy jednakowej jednostce obu osi.
Przykład krok po kroku
Wyznacz prostą prostopadłą do \(y=\frac12x+3\), przechodzącą przez \(P=(1,4)\).
Odwrotność i zmiana znaku. Dla nachylenia \(\frac{1}{2}\) odwrotność wynosi \(2\), a liczba do niej przeciwna \(-2\). To nachylenie prostej prostopadłej. Następnie podstawiamy dany punkt, bo sama prostopadłość określa kierunek, ale jeszcze nie położenie prostej.
- Wyznacz nachylenie prostopadłe.\(a=-2\)
- Podstaw punkt.\(4=-2\cdot1+b\)
- Oblicz b.\(b=6\Rightarrow y=-2x+6\)
Typowy błąd
Samo zmienienie znaku współczynnika nie wystarcza.
Dodatkowy przykład i kontrola
Prosta pionowa \(x=3\) jest prostopadła do każdej poziomej, np. \(y=-2\). Nie używamy wtedy iloczynu nachyleń, ponieważ pionowa nie ma współczynnika kierunkowego. Ten przypadek rozpoznajemy bezpośrednio z równań.
W postaci ogólnej \(A_1x+B_1y+C_1=0\), \(A_2x+B_2y+C_2=0\) można sprawdzić warunek \(A_1A_2+B_1B_2=0\). Obejmuje on również parę pionowa–pozioma. Przy wyznaczaniu nowej prostej pamiętaj o dwóch warunkach: odpowiednim kierunku i przechodzeniu przez zadany punkt. Samo poprawne nachylenie nie kończy rozwiązania.