Punkt przecięcia prostych ma współrzędne spełniające oba ich równania jednocześnie. Znajdujemy go, rozwiązując układ tych równań.
Pojęcia, od których zaczynamy
Każda prosta zawiera wiele punktów, ale punkt wspólny musi należeć do obu. Gdy oba równania mają postać \(y=\ldots\), w punkcie przecięcia opisują tę samą wartość \(y\). Możemy więc przyrównać prawe strony i otrzymać równanie z jedną niewiadomą \(x\).
Po znalezieniu \(x\) obliczamy \(y\) z dowolnego z równań. Wynikiem jest para \((x,y)\). Podstawienie tej pary do drugiego równania stanowi kontrolę. Jeżeli wynik nie pasuje, wróć do znaków przy przenoszeniu wyrazów i do mnożenia przez współczynniki.
Zasady i wzory
Punkt przecięcia dwóch prostych spełnia jednocześnie oba ich równania, dlatego wyznaczamy go jako rozwiązanie układu równań.
- Proste o różnych nachyleniach przecinają się raz.
- Równoległe różne proste nie mają punktu wspólnego.
- Po rozwiązaniu podstaw punkt do obu równań.
Najczęściej przyrównujemy prawe strony równań.
Jak czytać rysunek?
Rysunek pokazuje proste \(y=2x+1\) i \(y=-x+7\). Pierwsza rośnie, druga maleje, a punkt wspólny ma współrzędne \((2,5)\). Odczyt graficzny podpowiada wynik, ale dokładne współrzędne uzyskujemy z równania \(2x+1=-x+7\).
Przykład krok po kroku
Znajdź punkt przecięcia \(y=2x+1\) i \(y=-x+7\).
Punkt przecięcia spełnia oba równania. Współrzędna \(y\) ma w nim jedną wartość, więc prawe strony obu wzorów muszą być równe. Po obliczeniu \(x\) podstawiamy go do jednej prostej, a drugą wykorzystujemy do sprawdzenia pary.
- Przyrównaj równania.\(2x+1=-x+7\)
- Wyznacz x.\(3x=6\Rightarrow x=2\)
- Oblicz y.\(y=2\cdot2+1=5\Rightarrow P=(2,5)\)
Typowy błąd
Po obliczeniu x nie wolno zapomnieć o y.
Dodatkowy przykład i kontrola
Przy prostych \(y=2x+1\) i \(y=2x-3\) dostajemy \(1=-3\), czyli sprzeczność. Nie ma punktu wspólnego. Jeśli po przekształceniu otrzymujemy tożsamość, np. \(0=0\), proste pokrywają się i wspólnych punktów jest nieskończenie wiele.
Dla prostej pionowej \(x=3\) i prostej \(y=-x+7\) od razu podstawiamy \(x=3\), otrzymując \(y=4\). Punkt przecięcia to \((3,4)\). W postaci ogólnej można użyć podstawiania albo eliminacji jednej niewiadomej. Nie trzeba na siłę przekształcać równania pionowej prostej do postaci kierunkowej.