Odległość punktu od prostej jest długością najkrótszego odcinka łączącego punkt z prostą. Ten odcinek jest do prostej prostopadły.
Pojęcia, od których zaczynamy
Przez punkt prowadzimy prostą prostopadłą do danej. Punkt jej przecięcia z daną prostą nazywamy rzutem prostopadłym. Szukana odległość biegnie właśnie do tego rzutu. Inny punkt na prostej dałby dłuższy odcinek, ponieważ stałby się przeciwprostokątną odpowiedniego trójkąta.
Do wzoru potrzebna jest postać ogólna \(Ax+By+C=0\). Litery \(A,B,C\) oznaczają liczby, łącznie ze znakami. Na przykład z \(3x+4y-15=0\) odczytujemy \(C=-15\), nie \(15\). Współrzędne punktu zapisujemy osobno jako \(x_0,y_0\), aby nie pomylić ich ze współczynnikami prostej.
Zasady i wzory
Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego punkt z prostą, czyli odcinka prostopadłego. Dla równania ogólnego używamy wartości bezwzględnej.
- Najpierw zapisz prostą jako \(Ax+By+C=0\).
- W liczniku podstaw współrzędne punktu.
- Mianownik jest dodatni i równy \(\sqrt{A^2+B^2}\).
Punkt ma współrzędne \((x_0,y_0)\), a prosta równanie \(Ax+By+C=0\), przy czym \(A^2+B^2\gt 0\). Warunek wyklucza zerowy mianownik.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku odcinek od punktu \(P\) do prostej kończy się pod kątem prostym. To jego długość oznaczamy przez \(d\). Gdy punkt leży na prostej, rzut pokrywa się z nim i odległość wynosi zero. Nie trzeba wtedy szukać dodatniej długości na siłę.
Przykład krok po kroku
Oblicz odległość \(P=(1,2)\) od prostej \(3x+4y-15=0\).
Odczytaj liczby przed podstawieniem. Z równania \(3x+4y-15=0\) mamy \(A=3\), \(B=4\), \(C=-15\), a z punktu \((1,2)\): \(x_0=1\), \(y_0=2\). W liczniku znaki zachowujemy dokładnie, a wartość bezwzględną obliczamy dopiero po wykonaniu działań w środku.
- Oblicz licznik.\(|3\cdot1+4\cdot2-15|=|-4|=4\)
- Oblicz mianownik.\(\sqrt{3^2+4^2}=5\)
- Podziel.\(d=\frac45\)
Typowy błąd
Wartość bezwzględna jest konieczna, bo odległość nie może być ujemna.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla \(P=(2,1)\) i prostej \(y=2x-3\) zapis ogólny to \(2x-y-3=0\). Licznik wynosi \(|2\cdot2-1-3|=0\), więc punkt leży na prostej. Dla prostej poziomej \(y=k\) odległość upraszcza się do \(|y_0-k|\), a dla pionowej \(x=k\) do \(|x_0-k|\).
Wartość bezwzględna zamienia ujemny wynik w dodatni i pozostawia zero. Nie usuwaj minusów przed wykonaniem dodawania w jej wnętrzu. Pomnożenie całego równania prostej przez niezerową liczbę nie zmienia odległości: licznik i mianownik wzoru mnożą się przez tę samą wartość bezwzględną.