Równanie okręgu

Wyobraź sobie fontannę ustawioną w środku placu. Wszystkie lampy stojące dokładnie 5 metrów od fontanny tworzą okrąg. Równanie okręgu zapisuje właśnie taką zasadę: każdy punkt na okręgu ma tę samą odległość od środka.

Konkret: środek i stała odległość

• Okrąg ma środek S=(a,b).
• Każdy punkt P=(x,y) na okręgu jest oddalony od środka o promień r.
• Promień jest dodatni.
• Wnętrze okręgu nie należy do okręgu.

Reprezentacja: odległość punktu od środka

Ze wzoru na odległość punktów otrzymujemy:

√((x−a)²+(y−b)²)=r

Po podniesieniu obu stron do kwadratu:

(x−a)²+(y−b)²=r²

Abstrakcja: jak czytać równanie?

• Środek to S=(a,b).
• Promień to r, czyli pierwiastek z prawej strony.
• Znaki przy współrzędnych środka są przeciwne do znaków w nawiasach.
• Dla środka w początku układu równanie ma postać x²+y²=r².

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim Ś-N-P: Środek, Nawiasy, Promień. W pałacu pamięci środek okręgu siedzi na kanapie z tabliczką (a,b). Dwa gigantyczne nawiasy chwytają x i y, ale przewracają znaki jak psotne lustra. Na suficie świeci ogromne r², które przypomina, że po prawej stronie jest kwadrat promienia.

Przykład krok po kroku: odczytywanie środka i promienia

Rozważ okrąg (x−3)²+(y+2)²=25.

• Krok 1: x−3 oznacza a=3.
• Krok 2: y+2 to y−(-2), więc b=-2.
• Krok 3: r²=25, więc r=5.
• Odpowiedź: S=(3,-2), r=5.

Przykład krok po kroku: tworzenie równania

Wyznacz równanie okręgu o środku S=(-1,4) i promieniu 3.

• Krok 1: Wstaw a=-1, więc x−a=x+1.
• Krok 2: Wstaw b=4, więc y−b=y−4.
• Krok 3: r²=9.
• Odpowiedź: (x+1)²+(y−4)²=9.

Przykład krok po kroku: środek w początku układu

Okrąg ma środek S=(0,0) i promień 4.

• Krok 1: a=0 i b=0.
• Krok 2: r²=16.
• Odpowiedź: x²+y²=16.

Przykład krok po kroku: sprawdzanie punktu

Sprawdź, czy punkt P=(4,2) należy do okręgu (x−1)²+(y−2)²=9.

• Krok 1: Podstaw x=4 i y=2.
• Krok 2: (4−1)²+(2−2)²=9+0=9.
• Krok 3: Lewa strona równa się prawej.
• Wniosek: punkt należy do okręgu.

Przykład krok po kroku: punkt wewnątrz i na zewnątrz

Dla okręgu x²+y²=25 sprawdź punkt A=(3,0) i B=(6,0).

• Dla A: 3²+0²=9<25, więc punkt leży wewnątrz.
• Dla B: 6²+0²=36>25, więc punkt leży na zewnątrz.

Najczęstsze błędy

• Odczytanie środka bez zmiany znaku.
• Uznanie liczby po prawej stronie za promień zamiast za r².
• Pominięcie kwadratu przy jednym nawiasie.
• Mylenie okręgu z kołem.
• Podstawienie współrzędnych punktu do równania bez zachowania nawiasów.

Kontrola wyniku

• Promień musi być dodatni.
• Środek można sprawdzić, podstawiając x=a i y=b — lewa strona powinna wynieść 0.
• Punkt na okręgu daje dokładnie r².
• Punkt wewnątrz daje wartość mniejszą niż r².
• Punkt na zewnątrz daje wartość większą niż r².

Najczęstsze pytania