Równanie okręgu o środku \((a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(r\gt0\). Opisuje punkty leżące dokładnie w odległości r od środka.
Pojęcia, od których zaczynamy
Współrzędne \(x,y\) opisują dowolny punkt okręgu, a \(a,b\) ustalony środek. Różnice \(x-a\) i \(y-b\) są przesunięciami od środka do punktu. Ich kwadraty dodajemy tak jak we wzorze na odległość. Zamiast pierwiastkować, porównujemy sumę z kwadratem promienia.
Przy odczytywaniu środka dopasuj nawias do zapisu „współrzędna minus współrzędna środka”. Nawias \(x+4\) to \(x-(-4)\), więc pierwsza współrzędna środka wynosi \(-4\). Liczba po prawej stronie jest kwadratem promienia. Dla \(r^2=25\) promień wynosi \(5\), a nie \(25\).
Zasady i wzory
Równanie okręgu opisuje punkty oddalone od środka \(S=(a,b)\) o stały promień \(r\). Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka.
- Promień musi być dodatni.
- Po prawej stronie stoi \(r^2\), nie r.
- Dla środka w początku mamy \(x^2+y^2=r^2\).
Środek ma współrzędne \((a,b)\).
Jak czytać rysunek?
Rysunek przedstawia okrąg o środku \((2,-1)\) i promieniu \(3\). Punkty najbardziej wysunięte w prawo i w lewo mają współrzędne \((5,-1)\) i \((-1,-1)\). Najwyższy punkt to \((2,2)\), a najniższy \((2,-4)\). Pomaga to sprawdzić znaki i rozmiar okręgu.
Przykład krok po kroku
Podaj środek i promień okręgu \((x-2)^2+(y+1)^2=9\).
Porównuj całe nawiasy. Wzór okręgu zawiera \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Dlatego \(y+1\) zapisujemy jako \(y-(-1)\): współrzędna środka to \(-1\), a nie \(1\). Prawa strona podaje kwadrat promienia, więc z \(r^2=9\) otrzymujemy \(r=3\).
- Porównaj pierwszy nawias.\(a=2\)
- Zapisz drugi jako \(y-(-1)\).\(b=-1\)
- Odczytaj promień.\(r=\sqrt9=3\)
Typowy błąd
Znak przy współrzędnej środka odczytujemy przeciwnie.
Dodatkowy przykład i kontrola
Gdy równanie jest rozwinięte, uzupełnij kwadraty. Dla \(x^2+y^2-4x+2y-4=0\) zapisujemy \(x^2-4x=(x-2)^2-4\) oraz \(y^2+2y=(y+1)^2-1\). Po podstawieniu dostajemy \((x-2)^2+(y+1)^2=9\).
Jeżeli po uporządkowaniu prawa strona wynosi zero, równanie opisuje pojedynczy punkt, a nie okrąg o dodatnim promieniu. Ujemna prawa strona nie daje punktów rzeczywistych. Zastąpienie równości przez \(\leq\) przy dodatnim \(r\) opisuje całe koło, wraz z wnętrzem i brzegiem.