Prosta może mieć z okręgiem dwa, jeden albo zero punktów wspólnych. Rozstrzyga o tym porównanie prostopadłej odległości środka od prostej z promieniem.
Pojęcia, od których zaczynamy
Najpierw odczytaj środek i promień okręgu. Potem oblicz odległość środka od całej prostej, nie od przypadkowo wybranego jej punktu. Odcinek mierzący tę odległość musi być prostopadły do prostej. Dopiero uzyskaną długość \(d\) porównujemy z \(r\).
Jeśli prosta biegnie bliżej środka niż promień, przecina okrąg w dwóch punktach i jest sieczną. Przy odległości równej promieniowi dotyka brzegu w jednym punkcie: jest styczną. Jeżeli biegnie dalej niż promień, nie dociera do okręgu.
Zasady i wzory
Położenie prostej względem okręgu rozstrzyga porównanie odległości środka od prostej z promieniem: otrzymujemy sieczną, styczną albo prostą rozłączną.
- \(d\lt r\): dwa punkty wspólne.
- \(d=r\): jeden punkt wspólny.
- \(d\gt r\): brak punktów wspólnych.
d oznacza odległość środka okręgu od prostej.
Jak czytać rysunek?
Trzy poziome proste na rysunku ilustrują wszystkie przypadki. Dolna przechodzi przez wnętrze koła, środkowa dotyka jego brzegu, a górna jest poza nim. Liczymy punkty wspólne z okręgiem, czyli z linią brzegową. Sieczna nie ma z okręgiem nieskończenie wielu punktów, chociaż jej fragment leży wewnątrz koła.
Przykład krok po kroku
Okrąg ma środek \(S=(0,0)\), promień 5, a prosta ma równanie \(x=3\).
- Oblicz odległość środka od pionowej prostej.\(d=|0-3|=3\)
- Porównaj z promieniem.\(3\lt 5\)
- Podaj wniosek.Prosta jest sieczną i ma z okręgiem dwa punkty wspólne.
Typowy błąd
Nie porównujemy promienia z wyrazem wolnym bez obliczenia odległości.
Dodatkowy przykład i kontrola
Można też podstawić równanie prostej do równania okręgu. Dla \(x^2+y^2=25\) i \(x=3\) mamy \(9+y^2=25\), więc \(y^2=16\). Otrzymujemy punkty \((3,4)\) oraz \((3,-4)\). Porównanie odległości mówiło tylko, ile punktów istnieje; podstawienie daje ich współrzędne.
Gdy podstawienie prowadzi do równania kwadratowego, dodatni wyróżnik oznacza dwa przecięcia, zerowy styczność, ujemny brak przecięć rzeczywistych. Jeśli pytanie dotyczy tylko położenia, metoda odległości bywa krótsza. Jeśli dotyczy współrzędnych, trzeba rozwiązać układ.