Położenie prostej względem okręgu

Wyobraź sobie okrągłe rondo i prostą drogę. Droga może przechodzić obok ronda, musnąć jego krawędź albo przeciąć je na wylot. W geometrii analitycznej rozpoznajemy te trzy sytuacje, porównując odległość środka okręgu od prostej z promieniem.

Konkret: trzy możliwe sytuacje

• Prosta zewnętrzna nie ma punktów wspólnych z okręgiem.
• Styczna ma dokładnie jeden punkt wspólny.
• Sieczna ma dwa punkty wspólne.
• Kluczowe są środek okręgu, promień i odległość środka od prostej.

Reprezentacja: porównanie d i r

Dla okręgu o środku S=(a,b) i promieniu r oraz prostej Ax+By+C=0 obliczamy:

d=|Aa+Bb+C|/√(A²+B²)

• Jeśli d>r, prosta jest zewnętrzna.
• Jeśli d=r, prosta jest styczna.
• Jeśli d<r, prosta jest sieczna.

Abstrakcja: dlaczego to działa?

Odległość d mierzy najkrótszy dystans od środka okręgu do prostej. Promień r mówi, jak daleko od środka znajduje się krawędź okręgu. Porównanie tych dwóch długości natychmiast pokazuje liczbę punktów wspólnych.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim O-P-W: Odległość, Promień, Wniosek. W pałacu pamięci środek okręgu trzyma teleskop i mierzy odległość do wielkiej prostej. Obok stoi promień jak gigantyczna miarka. Gdy odległość jest większa, droga ucieka; gdy równa — tylko całuje okrąg; gdy mniejsza — przecina go z hukiem w dwóch miejscach.

Przykład krok po kroku: prosta styczna

Określ położenie prostej 3x+4y−20=0 względem okręgu x²+y²=16.

• Krok 1: Środek S=(0,0), promień r=4.
• Krok 2: d=|3·0+4·0−20|/√(9+16)=20/5=4.
• Krok 3: d=r.
• Odpowiedź: prosta jest styczna do okręgu.

Przykład krok po kroku: prosta zewnętrzna

Określ położenie prostej y=6 względem okręgu x²+y²=9.

• Krok 1: Środek S=(0,0), promień r=3.
• Krok 2: Prosta ma postać y−6=0.
• Krok 3: d=|0−6|=6.
• Krok 4: d>r.
• Odpowiedź: prosta jest zewnętrzna.

Przykład krok po kroku: prosta sieczna

Określ położenie prostej x=2 względem okręgu x²+y²=25.

• Krok 1: Środek S=(0,0), promień r=5.
• Krok 2: Prosta ma postać x−2=0.
• Krok 3: d=2.
• Krok 4: d<r.
• Odpowiedź: prosta jest sieczna.

Przykład krok po kroku: okrąg przesunięty

Określ położenie prostej y=1 względem okręgu (x−2)²+(y−4)²=9.

• Krok 1: Środek S=(2,4), promień r=3.
• Krok 2: Prosta ma postać y−1=0.
• Krok 3: d=|4−1|=3.
• Krok 4: d=r.
• Odpowiedź: prosta jest styczna.

Alternatywa: układ równań

Można również podstawić równanie prostej do równania okręgu. Otrzymane równanie kwadratowe opisuje liczbę punktów wspólnych:

• Δ<0 — brak punktów wspólnych.
• Δ=0 — jeden punkt wspólny.
• Δ>0 — dwa punkty wspólne.

Najczęstsze błędy

• Porównywanie d z r² zamiast z r.
• Błędne odczytanie środka okręgu.
• Nieprzekształcenie prostej do postaci Ax+By+C=0.
• Pominięcie wartości bezwzględnej przy liczeniu odległości.
• Mylenie stycznej z sieczną.

Kontrola wyniku

• Najpierw poprawnie odczytaj środek i promień.
• Odległość musi być nieujemna.
• Porównuj d z r, nie z r².
• W przypadku stycznej powinien istnieć dokładnie jeden punkt wspólny.
• Szkic sytuacji powinien zgadzać się z wynikiem.

Najczęstsze pytania