Własności figury w układzie współrzędnych udowadniamy, obliczając długości, nachylenia, środki odcinków i kąty. Sam kształt niedokładnego szkicu nie jest dowodem.
Pojęcia, od których zaczynamy
Zacznij od zaznaczenia punktów i połączenia ich w kolejności podanej w zadaniu. Dla czworokąta \(ABCD\) bokami są \(AB,BC,CD,DA\), a przekątnymi \(AC,BD\). Połączenie wszystkich punktów w przypadkowej kolejności może utworzyć inną figurę lub przecinającą się łamaną.
Wybierz własność, którą chcesz wykazać. Równość czterech boków daje romb, ale jeszcze nie kwadrat. Kwadrat potrzebuje także kąta prostego. Równe środki przekątnych pozwalają wykazać, że zwykły czworokąt jest równoległobokiem. Każdy wniosek powinien wynikać z konkretnego sprawdzenia.
Zasady i wzory
Własności figur można sprawdzać algebraicznie: długości boków przez wzór na odległość, równoległość przez współczynniki kierunkowe, a kąty proste przez prostopadłość.
- Równe długości mogą wskazywać kwadrat, romb lub trójkąt równoramienny.
- Równe nachylenia potwierdzają równoległość boków.
- Iloczyn nachyleń -1 potwierdza prostopadłość.
Długości i nachylenia pozwalają rozpoznać rodzaj figury.
Jak czytać rysunek?
W prostokącie z rysunku dolny i górny bok mają stałe współrzędne y, więc są poziome. Lewy i prawy mają stałe x, więc są pionowe. Otrzymujemy kąty proste bez obliczania nachyleń pionowych odcinków. Długości boków wynoszą \(4\) i \(3\), więc figura nie jest kwadratem.
Przykład krok po kroku
Rozpoznaj czworokąt o wierzchołkach \(A=(0,0),B=(4,0),C=(4,3),D=(0,3)\).
Jak uzasadnić kształt figury? Dwa punkty z jednakową współrzędną \(y\) wyznaczają odcinek poziomy, a z jednakowym \(x\) — pionowy. W przykładzie kolejne boki są na przemian poziome i pionowe, więc tworzą kąty proste. Długości wyliczamy z różnic odpowiednich współrzędnych; nie oceniamy ich na oko.
- Oblicz długości boków.\(AB=CD=4,\quad BC=AD=3\)
- Sprawdź prostopadłość osiowych boków.\(AB\perp BC\)
- Wyciągnij wniosek.Czworokąt jest prostokątem o bokach 4 i 3.
Typowy błąd
Rysunek poglądowy może nie zachowywać skali.
Dodatkowy przykład i kontrola
Rozważ \(A=(0,0)\), \(B=(2,1)\), \(C=(1,3)\), \(D=(-1,2)\). Kwadraty długości wszystkich boków wynoszą \(5\). Nachylenia \(AB\) i \(BC\) to \(\frac12\) oraz \(-2\), więc boki są prostopadłe. Figura jest kwadratem, mimo że jej boki nie są równoległe do osi.
Porównując długości, możesz porównywać ich kwadraty i uniknąć pierwiastków. Przy sprawdzaniu prostopadłości zawsze oddziel parę pionowa–pozioma od wzoru na iloczyn nachyleń. Dla czworokąta warto też sprawdzić, czy wierzchołki są różne i czy żadne trzy kolejne nie leżą na jednej prostej.
W symetrii względem początku układu zmieniamy znaki obu współrzędnych: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\). Względem osi \(Ox\) zmienia się tylko znak \(y\), a względem \(Oy\) tylko znak \(x\). Dla kolejnych wierzchołków równoległoboku \(A,B,C,D\) przekątne mają wspólny środek. Dlatego \(x_D=x_A+x_C-x_B\), \(y_D=y_A+y_C-y_B\). To sposób znalezienia brakującego wierzchołka.