Pole figury w układzie współrzędnych obliczamy z długości i wysokości albo bezpośrednio ze współrzędnych wierzchołków. Wybieramy metodę, która wymaga najmniejszej liczby dodatkowych obliczeń.
Pojęcia, od których zaczynamy
Najpierw narysuj figurę i poszukaj poziomego lub pionowego boku. Dla podstawy na prostej \(y=k\) wysokość z punktu \((x_0,y_0)\) wynosi \(|y_0-k|\). Nie zawsze jest to samo \(|y_0|\): tak jest tylko wtedy, gdy podstawa leży na osi poziomej.
W trójkącie pole to połowa iloczynu podstawy i odpowiadającej jej wysokości. Wysokość musi być prostopadła do prostej podstawy; może wypaść na jej przedłużeniu. Współrzędne punktów nie są automatycznie długościami. Długości wyznaczamy z różnic, a w razie potrzeby ze wzoru na odległość.
Zasady i wzory
Pole figury w układzie współrzędnych liczymy po dobraniu wygodnej metody: z podstawy i wysokości, przez podział na prostsze figury albo wzorem wyznacznikowym.
- Zachowaj kolejność wierzchołków po obwodzie.
- Wartość bezwzględna usuwa zależność od orientacji.
- Wynik ma jednostkę kwadratową.
To wzór na pole trójkąta z trzech wierzchołków.
Jak czytać rysunek?
Podstawa \(AB\) leży na osi poziomej od \(0\) do \(6\), więc ma długość \(6\). Wierzchołek \(C=(2,4)\) leży \(4\) jednostki nad tą osią. Położenie jego pierwszej współrzędnej nie zmienia wysokości. Każdy wierzchołek na prostej \(y=4\) dałby z tą samą podstawą pole \(12\).
Przykład krok po kroku
Oblicz pole trójkąta \(A=(0,0),B=(6,0),C=(2,4)\).
Wybierz podstawę ułatwiającą wysokość. Gdy podstawa leży na osi \(x\), wysokość jest odległością trzeciego wierzchołka od tej osi. To wartość bezwzględna jego współrzędnej \(y\). Przy dowolnie nachylonej podstawie samej współrzędnej \(y\) nie wolno uznać za wysokość.
- Wybierz poziomą podstawę AB.\(|AB|=6\)
- Odczytaj wysokość do osi x.\(h=4\)
- Oblicz pole.\(P=\frac{6\cdot4}{2}=12\)
Typowy błąd
Pole nie jest iloczynem podstawy i wysokości bez dzielenia przez 2.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla \(A=(1,1)\), \(B=(5,1)\), \(C=(2,4)\) podstawa ma długość \(5-1=4\), a wysokość \(4-1=3\), zatem \(P=6\). Użycie samej współrzędnej \(4\) jako wysokości dałoby błędny wynik.
Wzór z ramki można sprawdzić na tym samym trójkącie. Wstawiamy kolejno \((1,1)\), \((5,1)\), \((2,4)\): \(P=\frac12|1(1-4)+5(4-1)+2(1-1)|=\frac12|-3+15+0|=6\). Wartość bezwzględna gwarantuje nieujemne pole, niezależnie od kierunku numerowania wierzchołków. Dla trzech punktów wynik zero oznacza współliniowość. Wielokąt najłatwiej podzielić przekątnymi na trójkąty bez nakładających się wnętrz i dodać ich pola.