Iloraz ciągu geometrycznego

Wyobraź sobie maszynę, do której wkładasz liczbę, a ona za każdym razem wykonuje dokładnie to samo mnożenie. Jeśli maszyna mnoży przez 3, z 2 powstaje 6, z 6 powstaje 18, a z 18 powstaje 54. Stały mnożnik tej maszyny to iloraz ciągu geometrycznego.

Co oznacza iloraz q?

Iloraz ciągu geometrycznego oznaczamy literą q. Obliczamy go, dzieląc wyraz późniejszy przez poprzedni:

q=a_n+1/a_n, gdy a_n≠0

Jeśli otrzymujemy tę samą wartość dla wszystkich kolejnych par, ciąg jest geometryczny.

Jak obliczać q?

• Wybierz dwa kolejne wyrazy.
• Podziel wyraz późniejszy przez wcześniejszy.
• Zachowaj znak wyniku.
• Sprawdź jeszcze co najmniej jedną parę.

Dla ciągu 4, 12, 36, 108 mamy q=12/4=3, 36/12=3 i 108/36=3.

Jak interpretować wartość q?

• q>1: dodatnie wyrazy zwiększają się.
• q=1: wyrazy pozostają stałe.
• 0<q<1: dodatnie wyrazy zmniejszają się.
• q=0: od drugiego wyrazu pojawiają się zera.
• q<0: znaki kolejnych wyrazów zmieniają się naprzemiennie.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-D-Z-S: Późniejszy, Dziel przez wcześniejszy, Zachowaj znak, Sprawdź. W pałacu pamięci późniejszy wyraz stoi na wielkim balkonie i zjeżdża po znaku dzielenia na wcześniejszy. Wynik q zamienia się w magiczny pilot, który za każdym kliknięciem mnoży kolejną liczbę dokładnie tak samo. Gdy q jest ujemne, pilot przewraca znak plus na minus i minus na plus.

Przykład krok po kroku

Wyznacz iloraz ciągu 162, 54, 18, 6 i sprawdź, czy jest geometryczny.

• Krok 1: q=54/162=1/3.
• Krok 2: Sprawdź 18/54=1/3.
• Krok 3: Sprawdź 6/18=1/3.
• Krok 4: Wszystkie ilorazy są równe, więc ciąg jest geometryczny.
• Krok 5: Następny wyraz wynosi 6·1/3=2.

Przykład z ujemnym q

Dla ciągu -2, 6, -18, 54:

• q=6/(-2)=-3.
• -18/6=-3.
• 54/(-18)=-3.
• Iloraz wynosi q=-3, dlatego znaki zmieniają się naprzemiennie.

Obliczanie q z dwóch niekolejnych wyrazów

Jeśli znamy a_k i a_m, to:

a_m=a_k·q^m-k

Stąd q^m-k=a_m/a_k. Następnie wyznaczamy q, pamiętając, że przy parzystym wykładniku mogą istnieć dwa znaki.

Przykład: a₂=4 i a₅=108. Mamy q³=108/4=27, więc q=3.

Iloraz a procentowa zmiana

W modelach procentowych q zapisujemy jako:

• wzrost o p procent: q=1+p/100,
• spadek o p procent: q=1-p/100.

Wzrost o 8% oznacza q=1,08, a spadek o 20% oznacza q=0,8.

Najczęstsze błędy

• Dzielenie wcześniejszego wyrazu przez późniejszy.
• Odejmowanie wyrazów zamiast dzielenia.
• Pomijanie znaku minus.
• Sprawdzenie tylko jednej pary wyrazów.
• Mylenie q=0,5 ze spadkiem o 50 punktów zamiast do połowy.
• Brak ostrożności przy wyznaczaniu q z parzystej potęgi.

Najczęstsze pytania