Iloraz ciągu geometrycznego to stały mnożnik prowadzący od wcześniejszego wyrazu do następnego. Dla niezerowego wcześniejszego wyrazu obliczamy go przez dzielenie: następny wyraz przez poprzedni.
Kierunek dzielenia ma znaczenie
Dla ciągu \(3,12,48,\ldots\) iloraz wynosi \(\frac{12}{3}=4\). Liczba \(\frac{3}{12}=\frac14\) opisuje ruch wstecz, a nie przejście do następnego wyrazu. Iloraz może być ułamkiem lub liczbą ujemną. Dla \(81,27,9,\ldots\) wynosi \(\frac13\), a dla \(8,-4,2,\ldots\) wynosi \(-\frac12\).
Dzielimy wartość następnego wyrazu przez wartość wcześniejszego. Ciąg musi być geometryczny.
Co, jeśli znamy odległe wyrazy?
Między \(a_2\) i \(a_4\) są dwa mnożenia przez \(q\), dlatego \(a_4=a_2q^2\). Między \(a_3\) i \(a_9\) jest sześć takich mnożeń. Ogólnie \(a_j=a_iq^{j-i}\) dla \(j\gt i\). Iloraz \(\frac{a_j}{a_i}\), gdy wolno go obliczyć, jest potęgą \(q\), a nie zawsze samym \(q\).
Przykład z dwoma możliwymi znakami
W ciągu geometrycznym \(a_1=4\) i \(a_3=36\). Szukamy wszystkich rzeczywistych wartości ilorazu.
- Zapisz dwa mnożenia między podanymi wyrazami.\(36=4q^2\)
- Podziel obie strony przez cztery.\(q^2=9\)
- Zarówno dodatnia, jak i ujemna trójka ma kwadrat równy dziewięć.\(q=3\quad\text{lub}\quad q=-3\)
Sprawdzenie daje dwa poprawne początki: \(4,12,36\) oraz \(4,-12,36\). Dopiero dodatkowa informacja, na przykład „wszystkie wyrazy są dodatnie”, pozwala wybrać \(q=3\).
Nieparzysta liczba przejść
Jeśli \(a_1=2\) i \(a_4=54\), mamy trzy mnożenia: \(54=2q^3\). Stąd \(q^3=27\), czyli \(q=3\). Ujemna trójka nie pasuje, ponieważ \((-3)^3=-27\).
Parzysta potęga gubi znak podstawy, a nieparzysta go zachowuje. Dlatego równanie \(q^2=9\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste, natomiast \(q^3=27\) ma tylko jedno. Jeśli otrzymasz ujemny kwadrat, dane nie opisują rzeczywistego ciągu geometrycznego.
Typowy błąd
Zera i kontrola wyniku
Nigdy nie obliczaj ilorazu przez dzielenie przez zero. W ciągu geometrycznym po zerowym wyrazie wszystkie następne są zerowe, bo \(q\cdot0=0\). Zatem fragment \(0,5\) nie może być fragmentem takiego ciągu. Jeśli kandydatów na \(q\) jest kilka, sprawdź każdego przez odtworzenie podanych wyrazów i warunków zadania.