Ciąg geometryczny powstaje przez mnożenie każdego wyrazu przez tę samą liczbę. Tę liczbę nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy \(q\). Przykładem jest \(3,6,12,24,\ldots\), jeśli reguła „pomnóż przez dwa” obowiązuje na każdym kolejnym miejscu.
Co oznacza stały mnożnik?
W ciągu arytmetycznym dodawaliśmy stałą liczbę. Tutaj powtarzamy mnożenie. Od \(3\) do \(6\) przybywa \(3\), ale od \(6\) do \(12\) przybywa \(6\). Przyrosty są różne, natomiast oba razy wartość staje się dwukrotnie większa.
Zapis \(a_1=3\) podaje początek, a \(q=2\) regułę przejścia. Te dwie informacje wystarczą do odtworzenia całego ciągu. Numer wyrazu, podobnie jak wcześniej, jest dodatnią liczbą całkowitą.
Definicja i sprawdzanie ilorazów
Każdy następny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez stałe \(q\).
Gdy wcześniejszy wyraz jest niezerowy, możemy obliczyć \(q=\frac{a_{n+1}}{a_n}\). Dla \(3,6,12,24\) sprawdzamy \(\frac63=2\), \(\frac{12}{6}=2\), \(\frac{24}{12}=2\). Przy wzorze nieskończonego ciągu potrzebne jest uzasadnienie dla wszystkich indeksów, a nie tylko kilku pierwszych.
Przez zero nie dzielimy. Definicja przez mnożenie obejmuje jednak na przykład ciąg \(5,0,0,\ldots\) z \(q=0\). W ciągu samych zer warunek mnożenia spełnia dowolne \(q\), więc iloraz nie jest wyznaczony jednoznacznie.
Przykład z ułamkiem
Dla \(a_1=16\) i \(q=\frac12\) każdy następny wyraz stanowi połowę poprzedniego.
- Pomnóż pierwszy wyraz przez iloraz.\(a_2=16\cdot\frac12=8\)
- Tę samą czynność wykonaj dla drugiego wyrazu.\(a_3=8\cdot\frac12=4\)
- Oblicz jeszcze jeden wyraz.\(a_4=4\cdot\frac12=2\)
Ciąg maleje, mimo że iloraz jest dodatni. Dodatni mnożnik mniejszy od jednego zmniejsza dodatnią wartość.
Ujemny iloraz i środkowy wyraz
Przy \(a_1=3\), \(q=-2\) otrzymujemy \(3,-6,12,-24,\ldots\). Znaki zmieniają się naprzemiennie, ponieważ każde mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak.
Jeżeli \(2,x,18\) są kolejnymi dodatnimi wyrazami geometrycznymi, to \(\frac{x}{2}=\frac{18}{x}\). Po pomnożeniu przez \(2x\) mamy \(x^2=36\), więc \(x=6\). Gdyby nie wymagano dodatniości, również \(x=-6\) byłoby poprawne: ciąg \(2,-6,18\) ma iloraz \(-3\).
Typowa pomyłka
Jak kontrolować rozpoznanie?
Zapytaj, czy powtarzasz dodawanie, czy mnożenie. Sprawdź wszystkie dostępne pary sąsiadów. Ciąg stały o niezerowej wartości spełnia obie definicje: jest arytmetyczny z \(r=0\) i geometryczny z \(q=1\). Nazwy tych dwóch rodzajów ciągów nie wykluczają się.