Ciąg geometryczny

Wyobraź sobie pudełko, w którym każda kulka po chwili zamienia się w trzy kulki. Najpierw jest 1, potem 3, następnie 9, 27 i 81. Liczby nie rosną o stałą wartość, lecz każda kolejna jest określoną wielokrotnością poprzedniej.

Co to jest ciąg geometryczny?

Ciąg jest geometryczny, gdy iloraz każdego wyrazu przez wyraz poprzedni jest stały. Tę stałą liczbę oznaczamy literą q i nazywamy ilorazem ciągu.

q=a_n+1/a_n, gdy a_n≠0

Równoważnie każdy kolejny wyraz spełnia zależność:

a_n+1=a_n·q

Jak rozpoznać ciąg geometryczny?

• Podziel drugi wyraz przez pierwszy.
• Podziel trzeci wyraz przez drugi.
• Porównaj otrzymane ilorazy.
• Jeśli są równe dla kolejnych par, ciąg jest geometryczny.

Przykład: 2, 6, 18, 54. Mamy 6/2=3, 18/6=3 i 54/18=3, więc q=3.

Znaczenie ilorazu q

• Gdy q>1 i a₁>0, wyrazy rosną.
• Gdy 0<q<1 i a₁>0, dodatnie wyrazy maleją.
• Gdy q=1, wszystkie wyrazy są równe.
• Gdy q<0, znaki kolejnych wyrazów zmieniają się naprzemiennie.
• Gdy q=0, od drugiego wyrazu wszystkie wyrazy są równe zero.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-S-M: Dziel sąsiadów, Sprawdź stałość, Mnóż dalej. W pałacu pamięci kolejne liczby stoją na schodach, a między nimi skacze gigantyczna żaba q. Za każdym skokiem mnoży poprzednią liczbę przez tę samą wartość. Gdy q jest ujemne, żaba obraca każdy kolejny znak jak wielką tabliczkę plus–minus.

Przykład krok po kroku

Sprawdź, czy ciąg 5, 10, 20, 40 jest geometryczny, i wyznacz następny wyraz.

• Krok 1: 10/5=2.
• Krok 2: 20/10=2.
• Krok 3: 40/20=2.
• Krok 4: Ilorazy są równe, więc q=2.
• Krok 5: Następny wyraz to 40·2=80.

Przykład z ułamkowym ilorazem

W ciągu 64, 32, 16, 8 każdy kolejny wyraz jest równy połowie poprzedniego.

• q=32/64=1/2.
• Następny wyraz: 8·1/2=4.

Przykład z ilorazem ujemnym

Dla ciągu 3, -6, 12, -24:

• q=-6/3=-2.
• Znaki zmieniają się naprzemiennie.
• Następny wyraz: -24·(-2)=48.

Średnia geometryczna trzech kolejnych wyrazów

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi:

a_n²=a_n-1·a_n+1

Na przykład dla 2, 6, 18 mamy 6²=2·18=36.

Zastosowania

• Kapitał rosnący co okres o stały procent.
• Rozmnażanie organizmów w stałym tempie.
• Spadek wartości urządzenia o ten sam procent.
• Kolejne odbicia, gdy wysokość jest stałą częścią poprzedniej.

Najczęstsze błędy

• Odejmowanie sąsiednich wyrazów zamiast ich dzielenia.
• Mylenie ilorazu q z różnicą r ciągu arytmetycznego.
• Odwracanie ilorazu i liczenie a_n/a_n+1.
• Pomijanie znaku minus przy ujemnym q.
• Uznawanie ciągu za geometryczny po sprawdzeniu tylko jednej pary.
• Dzielenie przez wyraz równy zero bez analizy definicji.

Najczęstsze pytania