Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Wyobraź sobie salę kinową, w której pierwszy rząd ma 10 miejsc, a każdy kolejny o 2 miejsca więcej. Aby policzyć wszystkie miejsca w wielu rzędach, nie trzeba dodawać każdego rzędu osobno. Wystarczy połączyć pierwszy i ostatni rząd w parę i wykorzystać regularność ciągu arytmetycznego.

Co oznacza suma początkowych wyrazów?

Symbol S_n oznacza sumę pierwszych n wyrazów ciągu:

S_n=a₁+a₂+...+a_n

Podstawowy wzór

Dla ciągu arytmetycznego:

S_n=n(a₁+a_n)/2

Dodajemy pierwszy i ostatni wyraz, mnożymy przez liczbę wyrazów, a następnie dzielimy przez 2.

Dlaczego wzór działa?

Zapisz sumę raz od początku, a drugi raz od końca:

• S_n=a₁+a₂+...+a_n
• S_n=a_n+a_n-1+...+a₁

Każda pionowa para daje tę samą wartość a₁+a_n. Takich par jest n, więc:

2S_n=n(a₁+a_n)

Po podzieleniu przez 2 otrzymujemy wzór na sumę.

Druga postać wzoru

Jeśli nie znamy a_n, ale znamy a₁ i r, korzystamy z:

S_n=n(2a₁+(n-1)r)/2

Wzór powstaje po podstawieniu a_n=a₁+(n-1)r.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim I-O-L-P: Ile wyrazów, Otwórz nawias, Lącz pierwszy z ostatnim, Podziel przez dwa. W pałacu pamięci pierwszy i ostatni wyraz biegną z przeciwnych stron korytarza, zderzają się jak dwa gigantyczne magnesy, a liczba n tworzy n identycznych par. Na końcu ogromne nożyce przecinają całość na pół.

Przykład krok po kroku

Oblicz sumę pierwszych 12 wyrazów ciągu arytmetycznego, gdy a₁=4 i r=3.

• Krok 1: Oblicz a₁₂=4+(12-1)·3.
• Krok 2: a₁₂=4+33=37.
• Krok 3: Zastosuj wzór S₁₂=12(4+37)/2.
• Krok 4: S₁₂=12·41/2.
• Krok 5: S₁₂=6·41=246.

Przykład z drugą postacią wzoru

Dla a₁=5, r=2 i n=10:

• S₁₀=10(2·5+(10-1)·2)/2
• S₁₀=10(10+18)/2
• S₁₀=10·28/2=140

Suma kolejnych liczb naturalnych

Ciąg 1, 2, 3, ..., n jest arytmetyczny, dlatego:

1+2+...+n=n(n+1)/2

Na przykład 1+2+...+20=20·21/2=210.

Zadanie praktyczne

W pierwszym rzędzie jest 18 krzeseł, a w każdym następnym o 2 więcej. Ile krzeseł jest w 15 rzędach?

• a₁₅=18+14·2=46.
• S₁₅=15(18+46)/2.
• S₁₅=15·64/2=480.

Najczęstsze błędy

• Mylenie liczby wyrazów n z ostatnim wyrazem a_n.
• Zapominanie o dzieleniu przez 2.
• Używanie a₁+r zamiast a₁+a_n.
• Błędne obliczenie ostatniego wyrazu przez użycie nr zamiast (n-1)r.
• Stosowanie wzoru do ciągu, który nie jest arytmetyczny.
• Pomijanie nawiasu w wyrażeniu n(a₁+a_n)/2.

Najczęstsze pytania