Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to wynik dodania kolejno \(a_1,a_2,\ldots,a_n\). Oznaczamy ją przez \(S_n\). Nie jest tym samym co \(a_n\): ostatni wyraz jest tylko jednym ze składników sumy.
Co dokładnie dodajemy?
Dla ciągu \(2,5,8,11,\ldots\) mamy \(a_4=11\), ale \(S_4=2+5+8+11=26\). Indeks w \(S_4\) mówi, że dodajemy cztery wyrazy, zaczynając od pierwszego. Przed wyborem wzoru sprawdź, czy pytanie dotyczy jednego miejsca, czy całej zebranej wartości.
Dlaczego wystarczą skrajne wyrazy?
W powyższym przykładzie pierwszy i ostatni składnik dają \(2+11=13\), a dwa środkowe \(5+8=13\). Takie parowanie działa w każdym ciągu arytmetycznym: wzrost po jednej stronie równoważy spadek po drugiej.
Pierwszy wzór wykorzystuje wyrazy skrajne. Drugi powstaje po podstawieniu wzoru na \(a_n\).
Możesz też rozumieć wzór jako „liczba składników razy ich średnia”. Średnia wszystkich wyrazów tego fragmentu wynosi \(\frac{a_1+a_n}{2}\). Wzór działa również dla nieparzystej liczby wyrazów, ułamków, zera i liczb ujemnych.
Przykład krok po kroku
W ciągu arytmetycznym \(a_1=2\), \(r=3\). Obliczmy sumę pierwszych dziesięciu wyrazów.
- Znajdź ostatni dodawany wyraz. Od pierwszego do dziesiątego jest dziewięć przejść.\(a_{10}=2+9\cdot3=29\)
- Oblicz sumę wyrazów skrajnych.\(a_1+a_{10}=2+29=31\)
- Pomnóż przez liczbę składników i podziel przez dwa.\(S_{10}=\frac{10\cdot31}{2}=155\)
Kontrola: średnia wynosi \(15{,}5\), a składników jest \(10\), więc suma \(155\) ma właściwą wielkość. Odpowiedź \(29\) wskazywałaby tylko ostatni wyraz.
Gdy nie zaczynamy od pierwszego wyrazu
Chcemy dodać \(a_4+a_5+\ldots+a_9\) w ciągu \(a_n=2n\). Składników jest \(9-4+1=6\), a skrajne wartości to \(8\) i \(18\). Suma wynosi \(\frac{6(8+18)}2=78\). Dodajemy jedynkę przy liczeniu składników, ponieważ oba końce należą do sumy.
To inna sytuacja niż liczenie przejść: między wyrazem czwartym i dziewiątym jest pięć przejść, ale sześć wyrazów. Pomaga wypisanie numerów \(4,5,6,7,8,9\).
Błąd: mylenie sumy z wyrazem
Zadanie odwrotne
Jeśli wiadomo, że \(S_5=35\) i \(a_1=3\), podstawiamy do wzoru \(35=\frac{5(3+a_5)}2\). Mnożenie przez \(2\) i dzielenie przez \(5\) daje \(14=3+a_5\), zatem \(a_5=11\). Dla kontroli różnica wynosi \(\frac{11-3}{4}=2\), a suma \(3+5+7+9+11=35\).