Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Wyobraź sobie długi peron z ponumerowanymi słupkami. Pierwszy słupek ma wartość a₁, a każdy następny jest przesunięty o tę samą wartość r. Aby dotrzeć do słupka numer n, nie musisz odwiedzać wszystkich po drodze — wystarczy policzyć liczbę równych kroków.

Wzór na n-ty wyraz

Dla ciągu arytmetycznego obowiązuje wzór:

a_n=a₁+(n-1)r

We wzorze:

• a_n oznacza szukany n-ty wyraz,
• a₁ oznacza pierwszy wyraz,
• n oznacza numer wyrazu,
• r oznacza różnicę ciągu.

Dlaczego pojawia się n-1?

Od pierwszego wyrazu do drugiego wykonujemy jeden krok, do trzeciego dwa kroki, a do n-tego dokładnie n-1 kroków.

• a₂=a₁+1·r
• a₃=a₁+2·r
• a₄=a₁+3·r

Jak korzystać ze wzoru?

• Zapisz wartości a₁, n oraz r.
• Oblicz n-1.
• Pomnóż wynik przez r.
• Dodaj a₁.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-K-R-D: Pierwszy wyraz, Kroki n-1, Różnica, Dodaj. W pałacu pamięci pierwszy wyraz siedzi na ogromnej kanapie, liczba n-1 zamienia się w stado jednakowych robotów, a każdy robot niesie paczkę z napisem r. Na końcu wszystkie paczki wpadają z hukiem do koszyka a₁ i tworzą a_n.

Przykład krok po kroku

W ciągu arytmetycznym a₁=7 i r=3. Oblicz a₁₂.

• Krok 1: Zapisz wzór a_n=a₁+(n-1)r.
• Krok 2: Podstaw a₁=7, n=12 i r=3.
• Krok 3: a₁₂=7+(12-1)·3.
• Krok 4: a₁₂=7+11·3.
• Krok 5: a₁₂=7+33=40.

Przykład z ujemną różnicą

Dla a₁=20 i r=-4 oblicz a₆.

• a₆=20+(6-1)·(-4)
• a₆=20-20=0

Wyznaczanie wzoru ogólnego

Jeżeli znamy a₁ i r, podstawiamy je do wzoru i upraszczamy.

Dla a₁=5 i r=2:

• a_n=5+(n-1)·2
• a_n=5+2n-2
• a_n=2n+3

Wyznaczanie numeru wyrazu

Gdy znamy wartość a_n, możemy rozwiązać równanie względem n.

Przykład: a₁=4, r=5 i a_n=49.

• 49=4+(n-1)·5
• 45=5(n-1)
• 9=n-1
• n=10

Najczęstsze błędy

• Wstawianie n zamiast n-1.
• Pomijanie nawiasu przy ujemnej różnicy.
• Mylenie pierwszego wyrazu z wyrazem zerowym.
• Dodawanie r przed mnożeniem przez n-1.
• Błędne upraszczanie wyrażenia a₁+(n-1)r.
• Stosowanie tego wzoru do ciągu, który nie jest arytmetyczny.

Najczęstsze pytania