Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego pozwala od razu obliczyć wyraz o wybranym numerze. Do pierwszego wyrazu dodajemy różnicę tyle razy, ile przejść dzieli go od szukanego miejsca.
Skąd bierze się liczba przejść?
W ciągu o pierwszym wyrazie \(3\) i różnicy \(4\) otrzymujemy \(3,7,11,15,\ldots\). Drugi wyraz wymaga jednego dodania, trzeci dwóch, a czwarty trzech. Pierwszy wyraz już mamy — nie wykonujemy żadnego dodawania, aby do niego dotrzeć.
Litera \(n\) oznacza numer szukanego wyrazu, nie jego wartość. Przy numeracji od jednego do wyrazu \(a_n\) prowadzi dokładnie \(n-1\) przejść.
Wzór i znaczenie jego części
\(a_1\) — wartość początkowa, \(r\) — różnica, \(n\) — dodatni całkowity numer wyrazu.
Najpierw odejmujemy jeden od numeru, potem mnożymy przez różnicę, a na końcu dodajemy pierwszy wyraz. Dla ujemnej różnicy używaj nawiasów. Sam wzór nie wymaga, aby wyrazy były dodatnie.
Jeżeli znamy inny wyraz \(a_k\), możemy zacząć od niego: \(a_n=a_k+(n-k)r\). Przy \(n\lt k\) liczba przejść jest ujemna, co odpowiada cofnięciu się w ciągu.
Przykład: znajdowanie odległego wyrazu
Dany jest ciąg arytmetyczny o \(a_1=-4\) i \(r=6\). Obliczmy \(a_8\).
- Od pierwszego do ósmego wyrazu wykonujemy siedem przejść.\(n-1=8-1=7\)
- Każde przejście zwiększa wartość o sześć.\((n-1)r=7\cdot6=42\)
- Dodaj całkowitą zmianę do wartości początkowej.\(a_8=-4+42=38\)
Wynik \(38\) jest wartością wyrazu. Jego numer nadal wynosi \(8\). Tę różnicę warto zaznaczyć w odpowiedzi słownej.
Przykład: szukanie numeru wyrazu
W ciągu \(a_1=2\), \(r=5\) pytamy, którym wyrazem jest \(42\). Tym razem znamy wartość, więc podstawiamy ją za \(a_n\): \(42=2+5(n-1)\). Odejmujemy \(2\): \(40=5(n-1)\). Dzielimy przez \(5\): \(8=n-1\). Dodajemy \(1\), otrzymując \(n=9\).
Dla wartości \(43\) wyszłoby \(n=\frac{46}{5}\), co nie jest dodatnią liczbą całkowitą. Oznacza to, że \(43\) nie jest wyrazem tego ciągu. Nie zaokrąglamy numeru do najbliższej liczby całkowitej.
Typowy błąd: jedno dodanie za dużo
Kontrola wzoru i odpowiedzi
Podstaw \(n=1\): poprawny wzór musi zwrócić \(a_1\). Następnie sprawdź różnicę dwóch sąsiednich wyrazów. Jeżeli zadanie pyta o numer, sprawdź również, czy wynik jest dodatnią liczbą całkowitą. Dla ciągu stałego szukana wartość albo występuje na każdym miejscu, albo nie występuje wcale.