Różnica ciągu arytmetycznego to stała zmiana między dwoma kolejnymi wyrazami. Obliczamy ją, odejmując wyraz wcześniejszy od następnego. Gdy znamy wyrazy odległe, trzeba jeszcze uwzględnić liczbę przejść między nimi.
Co oznacza różnica?
Zapis \(a_4=11\) mówi, że czwarty wyraz ma wartość \(11\). Jeśli \(a_5=15\), jedno przejście zwiększa wartość o \(15-11=4\), więc \(r=4\). Przy przechodzeniu wstecz odejmujemy różnicę. Dla ujemnego \(r\) oznacza to dodawanie liczby dodatniej.
Odejmowanie ma ustalony kierunek. Dla ciągu \(18,12,6,0,\ldots\) różnica to \(12-18=-6\). Liczba \(6\) mówi tylko o wielkości spadku. Dopiero znak minus wskazuje kierunek zmiany.
Dwa wyrazy nie muszą być sąsiadami
Między \(a_4\) i \(a_9\) wykonujemy pięć przejść: do wyrazu piątego, szóstego, siódmego, ósmego i dziewiątego. Choć pokazany fragment obejmuje sześć wyrazów, przyrost jest dodawany tylko pięć razy.
Dzielimy zmianę wartości przez zmianę numeru. Zakładamy, że ciąg jest arytmetyczny.
Ten wzór nie sprawdza, czy dowolny ciąg jest arytmetyczny. Pozwala znaleźć jego różnicę wtedy, gdy arytmetyczność jest podana lub została wcześniej uzasadniona.
Przykład z dwoma odległymi wyrazami
W ciągu arytmetycznym \(a_4=11\) oraz \(a_9=31\). Obliczmy różnicę.
- Policz, o ile wzrosła wartość.\(a_9-a_4=31-11=20\)
- Policz liczbę równych przejść, odejmując numery wyrazów.\(9-4=5\)
- Rozdziel całkowitą zmianę na pięć jednakowych części.\(r=\frac{20}{5}=4\)
Kontrola przez odtworzenie fragmentu: \(11,15,19,23,27,31\). Po pięciu dodaniach \(4\) trafiamy w podaną wartość dziewiątego wyrazu.
Przykład ze spadkiem i cofnięciem
Jeżeli \(a_1=10\), a \(a_5=-2\), całkowita zmiana wynosi \(-2-10=-12\). Przejść jest \(5-1=4\), więc \(r=\frac{-12}{4}=-3\). Fragment ciągu to \(10,7,4,1,-2\).
Gdy znamy \(a_{10}=30\) i \(r=4\), wcześniejszy wyraz wynosi \(a_9=30-4=26\). Gdyby różnica wynosiła \(-4\), mielibyśmy \(a_9=30-(-4)=34\). Najbezpieczniej sprawdzić odpowiedź ruchem w przód.
Typowy błąd: liczba wyrazów zamiast przejść
Jak rozpoznać sens wyniku?
Dalszy wyraz większy od wcześniejszego oznacza dodatnią różnicę. Mniejszy — ujemną. Równe wartości dwóch różnych wyrazów w ciągu arytmetycznym oznaczają \(r=0\), czyli ciąg stały. Po obliczeniu różnicy podstaw ją do zależności \(a_j=a_i+(j-i)r\), aby sprawdzić wszystkie dane naraz.