Różnica ciągu arytmetycznego

Wyobraź sobie taśmę mierniczą z punktami zaznaczonymi co tę samą odległość. Przejście od jednego punktu do następnego zawsze ma taką samą długość. W ciągu arytmetycznym tę stałą zmianę nazywamy różnicą.

Co to jest różnica ciągu arytmetycznego?

Różnica ciągu arytmetycznego to liczba, którą dodajemy do każdego wyrazu, aby otrzymać następny.

r=a_n+1-a_n

Różnica musi być taka sama dla wszystkich kolejnych par wyrazów.

Jak obliczyć różnicę?

• Wybierz dwa kolejne wyrazy.
• Od późniejszego odejmij wcześniejszy.
• Sprawdź wynik dla jeszcze jednej pary.

Dla ciągu 6, 10, 14, 18, ... mamy r=10-6=4 oraz 14-10=4.

Różnica dodatnia, ujemna i równa zero

• r>0: kolejne wyrazy rosną.
• r<0: kolejne wyrazy maleją.
• r=0: wszystkie wyrazy są równe.

Obliczanie różnicy ze wzoru ogólnego

Jeśli znamy wzór a_n, obliczamy a_n+1-a_n.

Dla a_n=5n-2:

• a_n+1=5(n+1)-2=5n+3.
• r=(5n+3)-(5n-2)=5.

Obliczanie różnicy z dwóch dowolnych wyrazów

Jeżeli znamy a_k i a_m, to między nimi wykonujemy m-k równych kroków.

r=(a_m-a_k)/(m-k)

Na przykład jeśli a₃=11 i a₈=31, to r=(31-11)/(8-3)=20/5=4.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-O-D-S: Późniejszy, Odejmij, Dziel przez liczbę kroków, Sprawdź. W pałacu pamięci późniejszy wyraz stoi na ogromnym szczeblu, zrzuca wcześniejszy wyraz w dół znakiem minus, a liczba kroków zamienia się w wirujący dzielnik, który rozcina wynik na równe kawałki.

Przykład krok po kroku

W ciągu arytmetycznym a₄=17 i a₁₀=41. Oblicz różnicę r.

• Krok 1: Różnica numerów wynosi 10-4=6.
• Krok 2: Różnica wartości wynosi 41-17=24.
• Krok 3: Podziel 24 przez 6.
• Krok 4: r=4.
• Krok 5: Kontrola: od a₄ do a₁₀ jest sześć kroków po 4, więc 17+6·4=41.

Jak wykorzystać różnicę?

• Obliczyć następny wyraz: a_n+1=a_n+r.
• Obliczyć poprzedni wyraz: a_n-1=a_n-r.
• Wyznaczyć wzór ogólny: a_n=a₁+(n-1)r.
• Ocenić monotoniczność ciągu na podstawie znaku r.

Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny

Dla 2, 7, 12, 17 różnice wynoszą 5, 5, 5, więc ciąg jest arytmetyczny.

Dla 2, 7, 13, 18 różnice wynoszą 5, 6, 5, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Najczęstsze błędy

• Odejmowanie wcześniejszego wyrazu od późniejszego w odwrotnej kolejności.
• Dzielenie przez numer późniejszego wyrazu zamiast przez różnicę numerów.
• Pomijanie znaku minus przy ciągu malejącym.
• Obliczenie tylko jednej różnicy i brak sprawdzenia pozostałych.
• Mylenie różnicy ciągu arytmetycznego z ilorazem ciągu geometrycznego.
• Założenie, że różnica musi być dodatnia.

Najczęstsze pytania