Ciąg arytmetyczny

Wyobraź sobie robota idącego po długim korytarzu. Za każdym razem wykonuje dokładnie taki sam krok: na przykład przesuwa się o 3 pola. Numery pól tworzą wtedy ciąg arytmetyczny, bo różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.

Co to jest ciąg arytmetyczny?

Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica między każdym wyrazem a wyrazem poprzednim jest taka sama.

a_n+1-a_n=r

Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

• 2, 5, 8, 11, ... ma różnicę r=3.
• 10, 6, 2, -2, ... ma różnicę r=-4.
• 7, 7, 7, 7, ... ma różnicę r=0.

Jak obliczyć różnicę ciągu?

Odejmij od dowolnego wyrazu wyraz bezpośrednio poprzedni.

r=a_n+1-a_n

Dla ciągu 4, 9, 14, 19, ... mamy r=9-4=5.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Jeśli znamy pierwszy wyraz a₁ i różnicę r, to:

a_n=a₁+(n-1)r

Liczba n-1 oznacza liczbę kroków od pierwszego wyrazu do wyrazu o numerze n.

Dlaczego we wzorze występuje n-1?

Od a₁ do a₂ wykonujemy jeden krok, do a₃ dwa kroki, a do a_n dokładnie n-1 kroków. Dlatego różnicę r dodajemy n-1 razy.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

• Jeśli r>0, ciąg jest rosnący.
• Jeśli r<0, ciąg jest malejący.
• Jeśli r=0, ciąg jest stały.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-K-R-W: Pierwszy wyraz, Kroki n-1, Różnica, Wynik. W pałacu pamięci pierwszy wyraz siedzi na kanapie, obok gigantyczny licznik pokazuje n-1 kroków, a robot z plecakiem pełnym różnic r skacze po pokoju i za każdym skokiem wyrzuca tę samą liczbę.

Przykład krok po kroku

W ciągu arytmetycznym a₁=5 i r=4. Oblicz a₈.

• Krok 1: Zapisz wzór a_n=a₁+(n-1)r.
• Krok 2: Podstaw n=8, a₁=5 i r=4.
• Krok 3: a₈=5+(8-1)·4.
• Krok 4: a₈=5+7·4.
• Krok 5: a₈=5+28=33.

Wyznaczanie pierwszego wyrazu

Jeśli znamy a_n, r i n, możemy przekształcić wzór:

a₁=a_n-(n-1)r

Przykład: a₆=22 i r=3. Wtedy a₁=22-5·3=7.

Wyznaczanie różnicy

Ze wzoru a_n=a₁+(n-1)r otrzymujemy:

r=(a_n-a₁)/(n-1)

Przykład: a₁=2 i a₅=18. Wtedy r=(18-2)/4=4.

Średnia arytmetyczna trzech kolejnych wyrazów

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz wewnętrzny jest średnią arytmetyczną sąsiadów:

2a_n=a_n-1+a_n+1

Na przykład w ciągu 3, 7, 11 liczba 7 jest średnią liczb 3 i 11.

Sprawdzanie, czy liczby tworzą ciąg arytmetyczny

Oblicz różnice między kolejnymi liczbami. Jeśli wszystkie są równe, liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

• Dla 1, 4, 7, 10 różnice wynoszą 3, 3, 3, więc ciąg jest arytmetyczny.
• Dla 2, 5, 9, 12 różnice wynoszą 3, 4, 3, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Najczęstsze błędy

• Używanie n zamiast n-1 we wzorze ogólnym.
• Obliczanie różnicy w odwrotnej kolejności.
• Gubienie znaku minus przy ujemnej różnicy.
• Zakładanie, że każdy rosnący ciąg jest arytmetyczny.
• Sprawdzanie tylko jednej różnicy zamiast wszystkich kolejnych.
• Mylenie różnicy ciągu z ilorazem ciągu geometrycznego.

Najczęstsze pytania