Ciąg arytmetyczny powstaje przez dodawanie tej samej liczby do każdego poprzedniego wyrazu. Tę stałą liczbę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą \(r\). Może być dodatnia, ujemna albo równa zeru.
Wyraz, numer i różnica
Ciąg to uporządkowana lista liczb. Zapis \(a_1=4\) oznacza, że pierwsza liczba na liście wynosi \(4\). Numer wyrazu nie jest jego wartością: w ciągu \(4,7,10,13,\ldots\) trzeci wyraz ma numer \(3\), ale wartość \(10\). Od wyrazu do następnego przechodzimy tu przez dodanie \(3\).
Strzałki pokazują jednakową zmianę między sąsiadami. Jeżeli wiemy, że podany ciąg jest arytmetyczny, ta sama reguła obowiązuje również dalej, poza pokazanym fragmentem.
Jak sprawdzić definicję?
\(a_n\) — wcześniejszy wyraz, \(a_{n+1}\) — następny wyraz, \(r\) — stała różnica.
W skończonym zestawie liczb sprawdzamy wszystkie różnice sąsiadów, zawsze „następny minus poprzedni”. Dla \(4,7,10,13\) są to \(7-4=3\), \(10-7=3\) i \(13-10=3\). Każdy wynik jest taki sam. Natomiast \(2,4,8,16\) nie jest ciągiem arytmetycznym, bo różnice wynoszą \(2,4,8\).
Gdy dany jest wzór nieskończonego ciągu, kilka początkowych liczb nie stanowi dowodu. Dla \(a_n=3n+1\) liczymy \(a_{n+1}-a_n=3(n+1)+1-(3n+1)=3\), co działa dla każdego \(n\geq1\).
Przykład: ujemna różnica
W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz wynosi \(12\), a różnica \(-4\). Znajdźmy trzy następne wyrazy.
- Dodaj różnicę do pierwszego wyrazu. Dodanie liczby ujemnej oznacza odejmowanie.\(a_2=12+(-4)=8\)
- Powtórz tę samą zmianę.\(a_3=8+(-4)=4\)
- Jeszcze raz dodaj tę samą różnicę.\(a_4=4+(-4)=0\)
Otrzymujemy \(12,8,4,0,\ldots\). Zero jest normalnym wyrazem ciągu i nie przerywa reguły. Następny wyraz wynosi \(-4\).
Brakujący środkowy wyraz
Jeżeli \(4,x,14\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, obie różnice muszą być równe: \(x-4=14-x\). Dodajemy \(x\) i \(4\) do obu stron, dostając \(2x=18\), czyli \(x=9\). Sprawdzenie: \(9-4=5\) oraz \(14-9=5\).
Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów: \(x=\frac{4+14}{2}\). Własność dotyczy trzech kolejnych wyrazów, nie trzech dowolnie wybranych liczb z ciągu.
Czego nie pomylić?
Co mówi znak różnicy?
Jeżeli \(r\gt0\), ciąg rośnie. Jeżeli \(r\lt0\), maleje. Gdy \(r=0\), jest stały, na przykład \(5,5,5,\ldots\). Zanim zastosujesz wzór na dalszy wyraz albo sumę, upewnij się, że zadanie rzeczywiście opisuje stałą różnicę.