Monotoniczność ciągu mówi, czy jego wyrazy, czytane po kolei, rosną, maleją albo pozostają na tym samym poziomie. Badamy kierunek zmian, a nie to, czy wyrazy są dodatnie. Przyjmujemy indeksy \(n=1,2,3,\ldots\).
Co porównujemy?
Wyraz \(a_n\) to liczba na miejscu \(n\), a \(a_{n+1}\) to liczba na następnym miejscu. Zapis \(a_{n+1}\) nie oznacza dodania jedynki do wartości wyrazu. Na przykład dla \(a_n=2n\) mamy \(a_3=6\) i \(a_4=8\), natomiast \(a_3+1=7\).
Ciąg \(2,5,8,11,\ldots\), w którym zawsze dodajemy \(3\), jest rosnący. Ciąg \(-2,-4,-6,-8,\ldots\) jest malejący: liczby ujemne też można uporządkować. Na wykresie zaznaczamy osobne punkty, ponieważ numer wyrazu jest liczbą naturalną.
Rosnący, malejący i niemalejący
Rosnący oznacza, że każdy następny wyraz jest większy. Malejący — że każdy następny jest mniejszy. W ciągu stałym wszystkie wyrazy są równe. Słowo niemalejący dopuszcza równość sąsiadów: wyrazy mogą rosnąć albo chwilowo pozostawać równe. Analogicznie definiujemy ciąg nierosnący. Ciągi niemalejące i nierosnące nazywamy monotonicznymi.
Najwygodniej odejmować wyraz wcześniejszy od następnego. Dodatni wynik oznacza wzrost, ujemny spadek, a zero brak zmiany między tymi dwoma wyrazami. O całym ciągu wnioskujemy dopiero po sprawdzeniu wszystkich dopuszczalnych indeksów.
Jak znaleźć następny wyraz ze wzoru?
Zbadajmy \(a_n=n^2+n\). Wzór zawiera numer \(n\) dwa razy, więc w obu miejscach zastępujemy go przez całe wyrażenie \(n+1\). Nawiasy są konieczne: kwadrat dotyczy całego następnego numeru.
- Zapisz następny wyraz i rozwiń kwadrat sumy.\(a_{n+1}=(n+1)^2+(n+1)=n^2+3n+2\)
- Odejmij cały poprzedni wyraz. Minus przed nawiasem zmienia oba znaki.\(a_{n+1}-a_n=n^2+3n+2-(n^2+n)=2n+2\)
- Najmniejszy indeks to jeden, więc różnica zawsze jest dodatnia.\(n\geq1\ \Rightarrow\ 2n+2\geq4\gt0\)
Każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego. Ciąg jest zatem rosnący, a nie tylko „rosnący na początku”.
Przykład z ułamkiem
Dla \(a_n=\frac{1}{n}\) kolejne wartości to \(1,\frac12,\frac13,\ldots\). Aby uzasadnić spadek, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika: \(a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac1n=\frac{-1}{n(n+1)}\). Mianownik jest dodatni dla każdego \(n\geq1\), licznik ujemny, więc różnica jest ujemna. Wszystkie wyrazy są dodatnie, a mimo to ciąg maleje.
Dlaczego kilka wyrazów nie wystarcza?
Reguła \(a_n=(n-3)^2\) daje początek \(4,1,0,1,4,\ldots\). Najpierw wartości maleją, potem rosną. Już znalezienie jednego spadku i jednego wzrostu wystarcza, aby wykluczyć monotoniczność całego ciągu. Do udowodnienia monotoniczności potrzebny jest natomiast argument obejmujący wszystkie indeksy.
Jak samodzielnie sprawdzić rozwiązanie?
Zapisz dziedzinę indeksów, oblicz następny wyraz, odejmij wcześniejszy i uzasadnij znak różnicy. Gdy pojawia się zero tylko dla niektórych indeksów, sprawdź słabszą monotoniczność. Gdy znak się zmienia, wskaż konkretne indeksy pokazujące wzrost i spadek.