Monotoniczność ciągu

Wyobraź sobie, że idziesz po schodach, a na każdym stopniu leży kolejny wyraz ciągu. Jeśli każdy następny stopień jest wyżej, ciąg rośnie. Jeśli schodzisz coraz niżej, ciąg maleje. Gdy wysokość się nie zmienia, ciąg jest stały.

Co oznacza monotoniczność ciągu?

Monotoniczność opisuje kierunek zmian kolejnych wyrazów ciągu. Porównujemy a_n+1 z a_n.

• Ciąg rosnący: a_n+1>a_n dla każdego dopuszczalnego n.
• Ciąg niemalejący: a_n+1≥a_n.
• Ciąg malejący: a_n+1<a_n.
• Ciąg nierosnący: a_n+1≤a_n.
• Ciąg stały: a_n+1=a_n.

Jak rozpoznać monotoniczność z wypisanych wyrazów?

• 2, 5, 8, 11, ... jest rosnący.
• 7, 4, 1, -2, ... jest malejący.
• 3, 3, 3, 3, ... jest stały.
• 1, -1, 1, -1, ... nie jest monotoniczny.

Najważniejsza metoda: różnica kolejnych wyrazów

Obliczamy a_n+1-a_n i sprawdzamy jej znak.

• Jeśli różnica jest dodatnia dla każdego n, ciąg jest rosnący.
• Jeśli różnica jest ujemna dla każdego n, ciąg jest malejący.
• Jeśli różnica jest równa zero, ciąg jest stały.
• Jeśli znak różnicy się zmienia, ciąg nie jest monotoniczny.

Przykład dla wzoru liniowego

Dla a_n=4n-7:

• a_n+1=4(n+1)-7=4n-3.
• a_n+1-a_n=(4n-3)-(4n-7)=4.
• Różnica jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Przykład dla ciągu malejącego

Dla a_n=10-3n:

• a_n+1=10-3(n+1)=7-3n.
• a_n+1-a_n=(7-3n)-(10-3n)=-3.
• Różnica jest ujemna, więc ciąg jest malejący.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim N-O-Z-W: Następny wyraz, Odejmij poprzedni, Znak sprawdź, Wniosek zapisz. Wyobraź sobie windę w pałacu pamięci. Wkładasz do niej a_n+1 i a_n, a po odjęciu ogromna strzałka wybucha w górę przy plusie, wbija się w podłogę przy minusie albo zamiera przy zerze.

Przykład krok po kroku

Zbadaj monotoniczność ciągu a_n=n²+2n.

• Krok 1: Oblicz a_n+1=(n+1)²+2(n+1).
• Krok 2: Rozwiń: a_n+1=n²+2n+1+2n+2=n²+4n+3.
• Krok 3: Odejmij a_n: a_n+1-a_n=(n²+4n+3)-(n²+2n)=2n+3.
• Krok 4: Dla n≥1 mamy 2n+3>0.
• Krok 5: Ciąg jest rosnący.

Przykład ciągu niemonotonicznego

Dla a_n=(-1)ⁿ kolejne wyrazy to -1, 1, -1, 1, ... Raz rosną, a raz maleją, dlatego ciąg nie jest monotoniczny.

Rosnący a niemalejący

W ciągu rosnącym każdy kolejny wyraz musi być większy. W ciągu niemalejącym może być większy albo równy. Na przykład 1, 1, 2, 2, 3 jest niemalejący, ale nie jest rosnący.

Malejący a nierosnący

W ciągu malejącym każdy kolejny wyraz jest mniejszy. W ciągu nierosnącym może być mniejszy albo równy. Na przykład 5, 5, 4, 4, 3 jest nierosnący, ale nie jest malejący.

Najczęstsze błędy

• Sprawdzenie tylko kilku pierwszych wyrazów zamiast wszystkich n.
• Obliczenie a_n-a_n+1 zamiast a_n+1-a_n i odwrócenie wniosku.
• Niepoprawne wyznaczenie a_n+1 przez podstawienie n+1 bez nawiasów.
• Mylenie ciągu rosnącego z niemalejącym.
• Uznanie ciągu za monotoniczny mimo zmieniającego się znaku różnicy.
• Brak sprawdzenia, dla jakich numerów n analizujemy ciąg.

Najczęstsze pytania